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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 24

Resolve a integral abaixo:

24 –

int_0^(pi) sqrt(1 - c o s ( 2 x )) d x

Passo 1

Primeiramente é relembrar da identidade trigonométrica de:

cos 2 x = 1 - 2 s e n^2 x

Substituindo na integral temos:

int_0^(pi) sqrt(1 - ( 1 - 2 s e n^2 x )) d x

Dado a indentidade trigonométrica:

s e n^2 x = 1 - cos^2 x

Substituindo na integral:

int_0^(pi) sqrt(1 - ( 1 - 2 (1 - cos^2 x) )) d x

Simplificaremos resolvendo os termos alguns termos, verifique:

int_0^(pi) sqrt(2 (1 - cos^2 x) )) d x = int_0^(pi) sqrt(2) * sqrt(1 - cos^2 x) d x = sqrt(2) int_0^(pi) sqrt(1 - cos^2 x) d x

Passo 2

Como já mostrado s e n^2 x = 1 - cos^2 x vamos substituir na expressão:

sqrt(2) int_0^(pi) sqrt(s e n^2 x) d x

Simplificando a expressão com o radical:

sqrt(2 ) int_0^(pi) root(2)(s e n^2 x) d x = sqrt(2) int_0^(pi) s e n x d x

Sendo:

int s e n x d x = - cos x

Resolvendo, temos:

sqrt(2) [- cos x]_0^(pi)

Passo 3

sqrt(2) [- cos x]_0^(pi)

Realizando os limites de integração:

sqrt(2) [(- cos pi) - (- cos 0)]

Dado: cos (pi) = - 1 e cos (0) = 1

sqrt(2) [- (- 1) + 1] = sqrt(2) [1 + 1] = sqrt(2) [2] = 2 sqrt(2)

Resposta

2 sqrt(2)

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