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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 31

Resolve a integral abaixo:

31 –

int_0^(pi // 2) x sqrt(1 - cos (2 x)) d x

Passo 1

Utilizando o método de substituição udu vdv

u = x

d u = 1 d x

d x = (1)/(d u) = 1

d v = sqrt(1 - c o s ( 2 x )) d x

v = int sqrt(1 - cos 2 x) d x

Achando o valor de v utilizando as seguintes propriedades:

cos (2 x) = 1 - 2 s e n^2 x

s e n^2 x = 1 - cos^2 x

int sqrt(1 - ( 1 - 2 s e n^2 x )) d x = int sqrt(1 - ( 1 - 2 ( 1 - cos^2 x )) d x = int sqrt(- 1 + 2 ( 1 - cos^2 x ) + 1) d x

Simplificando :

int sqrt(2 ( 1 - cos^2 x )) d x = sqrt(2) int sqrt(1 - cos^2 x) d x

Seja: 1 - cos^2 x = s e n^2 x

sqrt(2) int sqrt(s e n^2 x) d x = sqrt(2) int s e n x d x

Seja:

int s e n x d x = - cos x : - sqrt(2) cos x

Logo:

v = - sqrt(2) cos x

Passo 2

int u d v = u v - int v d u

int x sqrt(1 - cos ( 2 x )) d x = - x sqrt(2) cos x - int - sqrt(2) cos x d x

Resolvendo e organizando:

- x sqrt(2) cos x + sqrt(2) int cos x d x

Resolvendo:

int cos x d x = s e n x

- x sqrt(2) cos x + sqrt(2) s e n x + c

Passo 3

Resolver através dos limites de integração:

[- x sqrt(2) cos x + sqrt(2) s e n x]_0^((pi)/(2))

Substituindo os limites temos:

[- (pi)/(2) sqrt(2) * cos ((pi)/(2)) + sqrt(2) s e n ((pi)/(2)) - (- 0 * sqrt(2) cos (0) + sqrt(2) s e n (0))]

Dado:

cos ((pi)/(2)) = 0 ; s e n ((pi)/(2)) = 1 ; cos (0) = 1 ; s e n (0) = 0

[- (pi)/(2) sqrt(2) * 0 + sqrt(2) * 1 - (- 0 + 0)] = (sqrt(2))

Resposta

sqrt(2 )

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