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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 22

Calcule a Integral abaixo:

22 –

int_0^((pi)/(2)) s e n^2 (2 theta) cos^3 (2 theta) d theta

Passo 1

Realizar por substituição udu =

u = 2 theta

d u = 2

d x = (1)/(d u) = (1)/(2)

Inserindo na integral:

int_0^((pi)/(2)) s e n^2 (u) cos^3 (u) (1)/(2) d u = (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) s e n^2 (u) cos^3 (u) d u

Vamos expandir a integral obtida pela integração por substituição:

(1)/(2) int_0^((pi)/(2)) cos^2 (u) * cos (u) sin^2 (u) d u

Dado a indentidade trigonométrica:

cos^2 (u) = 1 - sen^2 ( u )

Logo:

(1)/(2) int_0^((pi)/(2)) ( 1 - sin^2 u ) * cos (u) * sen^2 (u) d u

Passo 2

Para resolver a integral, vamos utilizar outro método de substituição, dado:

v = s e n (u)

d v = cos (u)

d u = (1)/(d v) = (1)/(cos (u))

Substituindo na integral temos:

(1)/(2) int_0^((pi)/(2)) ( 1 - v^2 ) * cos (u) * v^2 * (1)/(cos (u)) d v

Organizando os temos e simplificando o c o s ( u ) :

(1)/(2) int_0^((pi)/(2)) v^2 (1 - v^2) * (cos (u))/(cos (u)) d v = (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) v^2 - v^4 d v

(1)/(2) [(v^3)/(3) - (v^5)/(5)]_0^((pi)/(2))

Substituir dado: v = s e n (u)

(1)/(2) [(s e n^3 (u))/(3) - (s e n^5 (u))/(5)]_0^((pi)/(2))

Passo 3

Substituindo para u = 2 theta

(1)/(2) [(s e n^3 (u))/(3) - (s e n^5 (u))/(5)]_0^((pi)/(2)) = (1)/(2) [(s e n^3 ( 2 theta ))/(3) - (s e n^5 ( 2 theta ))/(5)]_0^((pi)/(2))

Substituindo com os limites de integração:

(1)/(2) [((s e n^3 ( 2 pi ))/(3) - (s e n^5 ( 2 pi ))/(5)) - ((s e n^3 ( 0 ))/(3) - (s e n^5 ( 0 ))/(5))]

Dado:

s e n (2 pi) = 0 e s e n (0) = 0

(1)/(2) [((0)/(3) - (0)/(5)) - ((0)/(3) - (0)/(5))]

(1)/(2) [0] = 0

Resposta

0

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