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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 55b

Calcule int ((sqrt(x) - 1)^2)/(sqrt(x)) d x por dois métodos: (b) tomando u = (sqrt(x) - 1)

Passo 1

Essa alternativa iremos resolver pelo método da substituição de variáveis. Já foi definido para gente u. Logo, vamos derivar dos dois lado da equação para prosseguirmos com a resolução.

u = (sqrt(x) - 1) d u = (1)/(2) x^(- 1 // 2) d x 2 d u = x^(- 1 // 2) d x

Passo 2

Vamos agora substituir o resultado encontrado no passo 1 na integral para resolvê-la.

int u^2 2 d u = 2 int u^2 d u = 2 [(u^3)/(3)] = 2 ((sqrt(x) - 1)^3)/(3) + C

Passo 3

Vamos expandir o resultado final usando o teorema do binômio.

(sqrt(x) - 1)^3 = x^(3 // 2) - 3 x + 3 sqrt(x) - 1

Resposta

O resultado final é:

int ((sqrt(x) - 1)^2)/(sqrt(x)) d x = (2)/(3) (x^(3 // 2) - 3 x + 3 sqrt(x) - 1) + C int ((sqrt(x) - 1)^2)/(sqrt(x)) d x = (2)/(3) x^(3 // 2) - 2 x + 2 sqrt(x) - (2)/(3) + C

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