Calcule ∫ ( x - 1 ) x ² d x por dois métodos: (b) tomando v = raiz(x - 1) .

Passo 1

Essa questão pode ser resolvido através da substituição de variável. Já nos foi dado a substituição a ser feita ( v = x - 1 ) . No entanto, precisamos saber como vamos substituir o x ² dentro da integral. Para isso, vamos manipular a expressão dada inicialmente.

v = x - 1 v 2 = x - 1 (1)

x = v 2 + 1 x 2 = ( v 2 + 1 ) ² (2)

Derivando a expressão (1) dos dois lados temos:

2 v d v = d x

Com a expressão (2) podemos substituir facilmente na integral e, a partir daí, calcular a integral

Passo 2

Vamos agora substituir as variáveis na integral.

∫ x - 1 x 2 d x = ∫ v ( v 2 + 1 ) ² 2 v d v = ∫ 2 v ² v 4 + 2 v ² + 1 d v ∫ x - 1 x 2 d x =   ∫ 2 ( v 6 + 2 v 4 + v ² ) d v

A integral de uma soma pode ser escrito como a soma de integrais. Logo,

∫ 2 ( v 6 + 2 v 4 + v ² ) d v = 2 ∫ v 6 d v + 2 ∫ 2 v 4 d v + 2 ∫ v ² d v

Passo 3

Feita a separação das integrais, vamos resolvê-las.

2 ∫ v 6 d v + 2 ∫ 2 v 4 d v + 2 ∫ v ² d v = 2 v 7 7 + 4 v 5 5 + 2 v 3 3 = 2 ( x - 1 ) 7 7 + 4 ( x - 1 ) 5 5 + 2 ( x - 1   ) 3 3 + C

Resposta

O resultado final é:

∫ x - 1 x 2 d x = 2 ( x - 1 ) 7 7 + 4 ( x - 1 ) 5 5 + 2 ( x - 1   ) 3 3 + C

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