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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 56b

Calcule int ( sqrt(x - 1) ) x ² d x por dois métodos: (b) tomando v = sqrt(x - 1) .

Passo 1

Essa questão pode ser resolvido através da substituição de variável. Já nos foi dado a substituição a ser feita ( v = sqrt(x - 1) ) . No entanto, precisamos saber como vamos substituir o x ² dentro da integral. Para isso, vamos manipular a expressão dada inicialmente.

v = sqrt(x - 1) v^2 = x - 1 (1)

x = v^2 + 1 x^2 = ( v^2 + 1 ) ² (2)

Derivando a expressão (1) dos dois lados temos:

2 v d v = d x

Com a expressão (2) podemos substituir facilmente na integral e, a partir daí, calcular a integral

Passo 2

Vamos agora substituir as variáveis na integral.

int (sqrt(x - 1)) x^2 d x = int v ( v^2 + 1 ) ² 2 v d v = int 2 v ² (v^4 + 2 v ² + 1) d v int (sqrt(x - 1)) x^2 d x = int 2 ( v^6 + 2 v^4 + v ² ) d v

A integral de uma soma pode ser escrito como a soma de integrais. Logo,

int 2 ( v^6 + 2 v^4 + v ² ) d v = 2 int v^6 d v + 2 int 2 v^4 d v + 2 int v ² d v

Passo 3

Feita a separação das integrais, vamos resolvê-las.

2 int v^6 d v + 2 int 2 v^4 d v + 2 int v ² d v = 2 (v^7)/(7) + (4 v^5)/(5) + (2 v^3)/(3) = 2 (( sqrt(x - 1) )^7)/(7) + (4 ( sqrt(x - 1) )^5)/(5) + (2 ( sqrt(x - 1 ) )^3)/(3) + C

Resposta

O resultado final é:

int (sqrt(x - 1)) x^2 d x = 2 (( sqrt(x - 1) )^7)/(7) + (4 ( sqrt(x - 1) )^5)/(5) + (2 ( sqrt(x - 1 ) )^3)/(3) + C

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