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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 47

Efetue a antidiferenciação int ((r^((1)/(3)) + 2)^4)/(root(3)(r ²)) d r

Passo 1

Essa integral pode ser resolvida utilizando a técnica da substituição de variável na integral. A primeira coisa que devemos fazer é definir quem deverá ser substituído. Nessa questão, quem deverá ser substituído será r^(1 // 3) + 2 , sendo chamado de u. Assim:

u = r^(1 // 3) + 2 Vamos aplicar a derivada dos dois lados da expressão acima:

d u = (1)/(3) r^(- (2)/(3)) d r 3 d u = r^(- (2)/(3)) d r (1)

Passo 2

Vamos analisar a integral para efetarmos a substituição dos termos. Da equação 1 temos do lado direito a expressão r^(- (2)/(3)) d r , que pode ser encontrada através de uma manipulação matemática na expressão da integral, trazendo a raiz cúbica que está no denominador da fração para o numerador.

int ((r^((1)/(3)) + 2)^4)/(root(3)(r ²)) d r = int (r^((1)/(3)) + 2)^4 r^(- 2 // 3) d r

Feito isso, podemos substituir as variáveis.

int u^4 3 d u 3 int u^4 d u

Passo 3

Feita a substituição resta apenas resolver a integral.

3 int u^4 d u 3 [(u^5)/(5)] = (3)/(5) (r^((1)/(3)) + 2)^5 + C

Resposta

O resultado final é:

int ((r^((1)/(3)) + 2)^4)/(root(3)(r ²)) d r = (3)/(5) (r^((1)/(3)) + 2)^5 + C

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