Efetue a antidiferenciação ∫ r 1 3 + 2 4 r ² 3 d r

Passo 1

Essa integral pode ser resolvida utilizando a técnica da substituição de variável na integral. A primeira coisa que devemos fazer é definir quem deverá ser substituído. Nessa questão, quem deverá ser substituído será r 1 / 3 + 2 , sendo chamado de u. Assim:

u = r 1 / 3 + 2 Vamos aplicar a derivada dos dois lados da expressão acima:

d u = 1 3 r - 2 3 d r 3 d u = r - 2 3 d r (1)

Passo 2

Vamos analisar a integral para efetarmos a substituição dos termos. Da equação 1 temos do lado direito a expressão r - 2 3 d r , que pode ser encontrada através de uma manipulação matemática na expressão da integral, trazendo a raiz cúbica que está no denominador da fração para o numerador.

∫ r 1 3 + 2 4 r ² 3 d r = ∫ r 1 3 + 2 4 r - 2 / 3 d r

Feito isso, podemos substituir as variáveis.

∫ u 4 3 d u 3 ∫ u 4 d u

Passo 3

Feita a substituição resta apenas resolver a integral.

3 ∫ u 4 d u 3 u 5 5 = 3 5 r 1 3 + 2 5 + C

Resposta

O resultado final é:

∫ r 1 3 + 2 4 r ² 3 d r =   3 5 r 1 3 + 2 5 + C

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