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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 39

Calcule a integral abaixo:

39 –

int (e^t d t)/(e^(2 t) + 3 e^t + 2)

Passo 1

Vamos considerar y = e^t , substituindo:

int (d y)/(y ² + 3 y + 2)

Sendo:

y^2 + 3 y + 2 = (y + 2) * ( y + 1 )

Desta forma:

(1)/(( y + 2 ) ( y + 1 )) = (A)/(y + 2) + (B)/(y + 1)

Tirando mmc:

(1)/(( y + 2 ) ( y + 1 )) = (A (y + 1) + B ( y + 2 ))/(( y + 2 ) ( y + 1 ))

Cortando os denominadores temos que:

1 = A (y + 1) + B ( y + 2 )

Aplicando a distributiva:

1 = A y + A + B y + 2 B

Organizando os temos:

1 = (A + B) y + A + 2 B

Assim:

A + B = 0

A + 2 B = 1

Desta forma:

A = 1 - 2 B

Substituindo A na primeira equação:

1 - 2 B + B = 0 ; - B + 1 = 0 ; - B = 1 ; B = 1

Substituindo B para achar A:

A + B = 0 ; A + 1 = 0 ; A = - 1

Assim:

(1)/(( y + 2 ) ( y + 1 )) = (- 1)/(y + 2) + (1)/(y + 1)

Passo 2

Agora vamos substituir na Integral:

int (- 1)/(y + 2) + (1)/(y + 1) d y = - int (1)/(y + 2) d y + int (1)/(y + 1) d y

Resolvendo a primeira integral temos:

- int (1)/(y + 2) d y = - ln (|y + 2|)

Resolvendo a segunda Integral:

int (1)/(y + 1) d y = ln (|y + 1|)

Passo 3

Juntando os resultados obtidos, para y = e^t :

- ln (|e^t + 2|) + ln (e^t + 1) = ln (|(e^t + 1)/(e^t + 2)|) + C

Resposta

ln (|(e^t + 1)/(e^t + 2)|) + C

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