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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 40

Calcule a integral abaixo:

40 –

int (e^(4 t) + 2 e^(2 t) - e^t)/(e^(2 t) + 1) d t

Passo 1

Primeiramente urilizaremos o método de substituição udu:

u = e^t

d u = e^t d t

d t = (1)/(d u) = (1)/(e^t)

Substituindo:

int (u^4 + 2 u^2 - u)/(u^2 + 1) * (1)/(u) d u = int (u^4 + 2 u^2 - u)/(u^3 + u) d u

Colocando u em evidência:

int (u ( u^3 + 2 u - 1 ))/(u ( u^2 + 1 )) d u = int (u^3 + 2 u - 1)/(u^2 + 1) d u

Separando a integral:

int (u ³)/(u^2 + 1) d u + int (2 u)/(u^2 + 1) d u - int (1)/(u^2 + 1) d u

Passo 2

int (u ³)/(u^2 + 1) d u + int (2 u)/(u^2 + 1) d u - int (1)/(u^2 + 1) d u

Resolvendo a primeira integral temos:

int (u ³)/(u^2 + 1) d u

Utilizando uma nova substituição tdt

t = u^2 + 1

d t = 2 u d u

d u = (1)/(d t) = (1)/(2 u)

Substituindo:

int (u ³)/(t) * (1)/(2 u) d t = int (u^2)/(2 t) d t

Se t = u^2 + 1 , u^2 = t - 1

int (t - 1)/(2 t) d t = (1)/(2) int (t - 1)/(t) d t = (1)/(2) int (t)/(t) - (1)/(t) d t = (1)/(2) int 1 - (1)/(t) d t = (1)/(2) (int 1 d t - int (1)/(t) d t)

Assim:

(1)/(2) (t - ln (|t|))

Substituindo para t = u^2 + 1

(1)/(2) ( u^2 + 1 - ln (|u^2 + 1|)

Resolvendo a segunda Integral:

int (2 u)/(u^2 + 1) d u

Utilizando tdt:

t = u^2 + 1

d t = 2 u d u

d u = (1)/(d t) = (1)/(2 u)

Substituindo:

int (2 u)/(t) * (1)/(2 u) d t = int (1)/(t) d t = ln (|t|)

Para t = u^2 + 1

ln (|u^2 + 1|)

Resolvendo a Terceira Integral:

- int (1)/(u^2 + 1) d u = - t g^(- 1) (u)

Passo 3

Juntando os resultados das integrais:

(1)/(2) ( u^2 + 1 - ln (|u^2 + 1|) + ln (|u^2 + 1|) - t g^(- 1) ( u )

Juntando os resultados obtidos, para u = e^t :

(1)/(2) ( e^(2 t) + 1 - ln (|e^(2 t) + 1|) + ln (|e^(2 t) + 1|) - t g^(- 1) ( e^t )

Multiplicando por (1)/(2)

(1)/(2) e^(2 t) + (1)/(2) - (1)/(2) ln (|e^(2 t) + 1|) + ln (|e^(2 t) + 1|) - t g^(- 1) ( e^t )

P a r a : - (1)/(2) + 1 = (1)/(2)

Assim:

(1)/(2) e^(2 t) + (1)/(2) + (1)/(2) ln (|e^(2 t) + 1|) - t g^(- 1) ( e^t )

(1)/(2) + C = C

(1)/(2) e^(2 t) + (1)/(2) ln (|e^(2 t) + 1|) - t g^(- 1) (e^t) + C

Resposta

(1)/(2) e^(2 t) + (1)/(2) ln (|e^(2 t) + 1|) - t g^(- 1) (e^t) + C

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