Calcule a integral.

∫ x 4 + 3 x 2 + 1 x 5 + 5 x 3 + 5 x   d x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral indefinida da função f x = x 4 + 3 x 2 + 1 x 5 + 5 x 3 + 5 x .

Nessa sessão queremos aplicar os métodos de solução de decomposição por fração parcial, portanto para obter a solução dessa integral vamos decompor nossa função de integração...

Lembra como fazemos isso? 😇

Passo 2

Podemos começar colocando x em evidência no denominador...

x 4 + 3 x 2 + 1 x 5 + 5 x 3 + 5 x = x 4 + 3 x 2 + 1 x x 4 + 5 x 2 + 5

Dessa forma conseguimos separar a nossa função em duas partes...

x 4 + 3 x 2 + 1 x 5 + 5 x 3 + 5 x = A x + B x 3 + C x 2 + D x + E x 4 + 5 x 2 + 5

Juntando as duas frações, chegamos em

x 4 + 3 x 2 + 1 x 5 + 5 x 3 + 5 x = A x 4 + 5 x 2 + 5 + x B x 3 + C x 2 + D x + E x x 4 + 5 x 2 + 5

x 4 + 3 x 2 + 1 x 5 + 5 x 3 + 5 x = A x 4 + 5 A x 2 + 5 A + B x 4 + C x 3 + D x 2 + E x x x 4 + 5 x 2 + 5

Simplificando o numerador, temos

x 4 + 3 x 2 + 1 x 5 + 5 x 3 + 5 x = A + B x 4 + C x 3 + 5 A + D x 2 + E x + 5 A x x 4 + 5 x 2 + 5

Dessa forma, por igualdade de polinômios, temos que os numeradores devem ser iguais... ou seja

A + B = 1 C = 0 5 A + D = 3 E = 0 5 A = 1

A partir dessa relação podemos obter que

A = 1 5 B = 4 5 C = 0 D = 2 E = 0

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Substituindo esses valores na função...

x 4 + 3 x 2 + 1 x 5 + 5 x 3 + 5 x = A x + B x 3 + C x 2 + D x + E x 4 + 5 x 2 + 5

x 4 + 3 x 2 + 1 x 5 + 5 x 3 + 5 x = 1 5 x + 4 5 x 3 + 0 x 2 + 2 x + 0 x 4 + 5 x 2 + 5

Simplificando...

x 4 + 3 x 2 + 1 x 5 + 5 x 3 + 5 x = 1 5 · 1 x + 4 x 3 + 10 x x 4 + 5 x 2 + 5

E agora é só substituir na integral.

∫ x 4 + 3 x 2 + 1 x 5 + 5 x 3 + 5 x   d x = ∫ 1 5 · 1 x + 4 x 3 + 10 x x 4 + 5 x 2 + 5   d x

Simplificando e separando em duas integrais...

∫ x 4 + 3 x 2 + 1 x 5 + 5 x 3 + 5 x   d x = 1 5 ∫ 1 x   d x + ∫ 4 x 3 + 10 x x 4 + 5 x 2 + 5   d x

Legal, né? 😁

Passo 4

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que

∫ 1 x   d x = ln ⁡ x + C

Agora para calcular a integral de 4 x 3 + 10 x x 4 + 5 x 2 + 5 vamos aplicar o método de substituição fazendo u = x 4 + 5 x 2 + 5 e consequentemente

d u = 4 x 3 + 10 x d x

Olha só que milagre

∫ 4 x 3 + 10 x x 4 + 5 x 2 + 5   d x = ∫ 1 u   d u = ln ⁡ u + C

Voltando u para x 4 + 5 x 2 + 5 ...

∫ 4 x 3 + 10 x x 4 + 5 x 2 + 5   d x = ln ⁡ x 4 + 5 x 2 + 5 + C

Juntando os dois resultados, temos

∫ x 4 + 3 x 2 + 1 x 5 + 5 x 3 + 5 x   d x = 1 5 ∫ 1 x   d x + ∫ 4 x 3 + 10 x x 4 + 5 x 2 + 5   d x

∫ x 4 + 3 x 2 + 1 x 5 + 5 x 3 + 5 x   d x = 1 5 ln ⁡ x + C + ln ⁡ x 4 + 5 x 2 + 5 + C

Como ln ⁡ a + ln ⁡ b = ln ⁡ a b , então...

∫ x 4 + 3 x 2 + 1 x 5 + 5 x 3 + 5 x   d x = 1 5 ln ⁡ x x 4 + 5 x 2 + 5 + C

∫ x 4 + 3 x 2 + 1 x 5 + 5 x 3 + 5 x   d x = 1 5 ln ⁡ x 5 + 5 x 3 + 5 x + C

E aí! o que achou? Responde Aí! 😬

Resposta

∫ x 4 + 3 x 2 + 1 x 5 + 5 x 3 + 5 x   d x = 1 5 ln ⁡ x 5 + 5 x 3 + 5 x + C

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