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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 36

Calcule a integral.

int (x^4 + 3 x^2 + 1)/(x^5 + 5 x^3 + 5 x) d x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral indefinida da função f (x) = (x^4 + 3 x^2 + 1)/(x^5 + 5 x^3 + 5 x) .

Nessa sessão queremos aplicar os métodos de solução de decomposição por fração parcial, portanto para obter a solução dessa integral vamos decompor nossa função de integração...

Lembra como fazemos isso? 😇

Passo 2

Podemos começar colocando x em evidência no denominador...

(x^4 + 3 x^2 + 1)/(x^5 + 5 x^3 + 5 x) = (x^4 + 3 x^2 + 1)/(x (x^4 + 5 x^2 + 5))

Dessa forma conseguimos separar a nossa função em duas partes...

(x^4 + 3 x^2 + 1)/(x^5 + 5 x^3 + 5 x) = (A)/(x) + (B x^3 + C x^2 + D x + E)/(x^4 + 5 x^2 + 5)

Juntando as duas frações, chegamos em

(x^4 + 3 x^2 + 1)/(x^5 + 5 x^3 + 5 x) = (A (x^4 + 5 x^2 + 5) + x (B x^3 + C x^2 + D x + E))/(x (x^4 + 5 x^2 + 5))

(x^4 + 3 x^2 + 1)/(x^5 + 5 x^3 + 5 x) = (A x^4 + 5 A x^2 + 5 A + B x^4 + C x^3 + D x^2 + E x)/(x (x^4 + 5 x^2 + 5))

Simplificando o numerador, temos

(x^4 + 3 x^2 + 1)/(x^5 + 5 x^3 + 5 x) = ((A + B) x^4 + C x^3 + (5 A + D) x^2 + E x + 5 A)/(x (x^4 + 5 x^2 + 5))

Dessa forma, por igualdade de polinômios, temos que os numeradores devem ser iguais... ou seja

{[[A + B = 1],[C = 0],[5 A + D = 3],[E = 0],[5 A = 1]])

A partir dessa relação podemos obter que

{[[A = (1)/(5)],[B = (4)/(5)],[C = 0],[D = 2],[E = 0]])

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Substituindo esses valores na função...

(x^4 + 3 x^2 + 1)/(x^5 + 5 x^3 + 5 x) = (A)/(x) + (B x^3 + C x^2 + D x + E)/(x^4 + 5 x^2 + 5)

(x^4 + 3 x^2 + 1)/(x^5 + 5 x^3 + 5 x) = ((1)/(5))/(x) + ((4)/(5) x^3 + (0) x^2 + 2 x + 0)/(x^4 + 5 x^2 + 5)

Simplificando...

(x^4 + 3 x^2 + 1)/(x^5 + 5 x^3 + 5 x) = (1)/(5) * ((1)/(x) + (4 x^3 + 10 x)/(x^4 + 5 x^2 + 5))

E agora é só substituir na integral.

int (x^4 + 3 x^2 + 1)/(x^5 + 5 x^3 + 5 x) d x = int (1)/(5) * ((1)/(x) + (4 x^3 + 10 x)/(x^4 + 5 x^2 + 5)) d x

Simplificando e separando em duas integrais...

int (x^4 + 3 x^2 + 1)/(x^5 + 5 x^3 + 5 x) d x = (1)/(5) (int (1)/(x) d x + int (4 x^3 + 10 x)/(x^4 + 5 x^2 + 5) d x)

Legal, né? 😁

Passo 4

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora para calcular a integral de (4 x^3 + 10 x)/(x^4 + 5 x^2 + 5) vamos aplicar o método de substituição fazendo u = x^4 + 5 x^2 + 5 e consequentemente

d u = (4 x^3 + 10 x) d x

Olha só que milagre

int (4 x^3 + 10 x)/(x^4 + 5 x^2 + 5) d x = int (1)/(u) d u = ln |u| + C

Voltando u para x^4 + 5 x^2 + 5 ...

int (4 x^3 + 10 x)/(x^4 + 5 x^2 + 5) d x = ln |x^4 + 5 x^2 + 5| + C

Juntando os dois resultados, temos

int (x^4 + 3 x^2 + 1)/(x^5 + 5 x^3 + 5 x) d x = (1)/(5) (int (1)/(x) d x + int (4 x^3 + 10 x)/(x^4 + 5 x^2 + 5) d x)

int (x^4 + 3 x^2 + 1)/(x^5 + 5 x^3 + 5 x) d x = (1)/(5) (ln |x| + C + ln |x^4 + 5 x^2 + 5| + C)

Como ln (a) + ln (b) = ln (a b) , então...

int (x^4 + 3 x^2 + 1)/(x^5 + 5 x^3 + 5 x) d x = (1)/(5) (ln |x (x^4 + 5 x^2 + 5)| + C)

int (x^4 + 3 x^2 + 1)/(x^5 + 5 x^3 + 5 x) d x = (1)/(5) (ln |x^5 + 5 x^3 + 5 x| + C)

E aí! o que achou? Responde Aí! 😬

Resposta

int (x^4 + 3 x^2 + 1)/(x^5 + 5 x^3 + 5 x) d x = (1)/(5) (ln |x^5 + 5 x^3 + 5 x| + C)

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