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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.4 - Ex. 26

Calcule a integral.

int (x^2 + x + 1)/((x^2 + 1)^2) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral. Para isso, vamos recorrer às frações parciais. Como o grau do denominador é maior que o grau do numerador, podemos fazer a decomposição diretamente:

(x^2 + x + 1)/((x^2 + 1)^2) = (A x + B)/(x^2 + 1) + (C x + D)/((x^2 + 1)^2)

Assim,

(x^2 + x + 1)/((x^2 + 1)^2) = ((A x + B) (x^2 + 1) + C x + D)/((x^2 + 1)^2)

Portanto,

A x^3 + B x^2 + (A + C) x + B + D = x^2 + x + 1

Logo, temos que A = 0 , de modo que A + C = 1 => C = 1 . Além disso, B = 1 , o que implica D = 0 pois B + D = 1 . Assim,

(x^2 + x + 1)/((x^2 + 1)^2) = (1)/(x^2 + 1) + (x)/((x^2 + 1)^2)

Passo 2

Desta forma, a integral será

int (x^2 + x + 1)/((x^2 + 1)^2) d x = int (1)/(1 + x^2) d x + int (x)/((x^2 + 1)^2) d x

Vemos que a primeira integral é elementar e igual ao a r c t g x . Já para a segunda integral, devemos fazer u = x^2 + 1 , de modo que d u = 2 x d x . Assim,

int (x)/((x^2 + 1)^2) d x = (1)/(2) int (1)/(u^2) d u = - (1)/(2 u) = - (1)/(2 ( x^2 + 1 ))

Passo 3

Desta forma,

int (x^2 + x + 1)/((x^2 + 1)^2) d x = a r c t g x - (1)/(2 (x^2 + 1)) + C

Resposta

a r c t g x - (1)/(2 (x^2 + 1)) + C

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