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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 45

Calcule a integral abaixo:

45 –

int (d x)/(x^((3)/(2)) - sqrt(x))

Passo 1

Organizando as potências:

int (d x)/(x^((3)/(2)) - x^((1)/(2)))

Primeiramente urilizaremos o método de substituição udu:

u = x^((1)/(2))

d u = (1)/(2) x^(- (1)/(2))

d x = (1)/(d u) = (1)/((1)/(2) x^(- (1)/(2)))

Substituindo:

int (1)/(x^((3)/(2)) - x^((1)/(2))) * (1)/((1)/(2) x^(- (1)/(2))) d u

Colocando o fato x^((1)/(2)) em evidência:

int (1)/(x^((1)/(2)) ( x - 1 )) * (1)/((x^(- (1)/(2)))/(2)) d u

Mudando o expoente de x^(- ((1)/(2)))

int (1)/(x^((1)/(2)) ( x - 1 )) * (1)/((1)/(2 x^((1)/(2)))) d u = int (1)/(x^((1)/(2)) ( x - 1 )) * 2 x^((1)/(2)) d u = int (1)/(x - 1) * 2 d u

Utilizando a propriedade:

a^(m n) = (a^n)^m

int (2)/((x^((1)/(2)))^2 - 1) d u = int (2)/(u^2 - 1) d u

Passo 2

Prosseguindo passando a constante multiplicativa para fora da integral:

2 int (1)/(u^2 - 1) d u

Utilizando a fórmula:

int (1)/(x^2 - a ²) d x = (1)/(2 a) * ln (|(x - a)/(x + a)|)

Assim:

2 int (1)/(u^2 - 1) d u = 2 ((1)/(2) ln (|(u - 1)/(u + 1)|)) = ln (|(u - 1)/(u + 1)|) + C

Passo 3

Substituindo para u = sqrt(x)

ln (|(sqrt(x) - 1)/(sqrt(x) + 1)|) + C

Resposta

ln (|(sqrt(x) - 1)/(sqrt(x) + 1)|) + C

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