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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 50

Calcule a integral abaixo:

50 –

int (1)/(x^6 ( x^5 + 4 )) d x

Passo 1

Multiplicando temos:

int (1)/(x^6 ( x^5 + 4 )) * (x^4)/(x^4) d x = int (x^4)/(x^(10) ( x^5 + 4 )) d x

Primeiramente urilizaremos o método de substituição udu:

u = x^5

d u = 5 x^4

d x = (1)/(d u) = (1)/(5 x^4)

Substituindo:

int (x^4)/(u^2 ( u + 4 )) * (1)/(5 x^4) d u = (1)/(5) int (1)/(u^2 ( u + 4 )) d u

Realizando pelo método de frações parciais:

(1)/(u^2 ( u + 4 )) = (A)/(u) + (B)/(u^2) + (C)/(u + 4)

Tirando mmc:

(1)/(u^2 ( u + 4 )) = (A (u ( u + 4 )) + B (u + 4) + C u^2)/(u^2 ( u + 4 ))

Simplificando os denominadores temo:

1 = A (u^2 + 4 u) + B (u + 4) + C u^2

Aplicando a distributiva:

1 = A u^2 + 4 A u + B u + 4 B + C u^2

Colocando em evidência:

1 = (A + C) u^2 + (4 A + B) u + 4 B

A + C = 0

4 A + B = 0

4 B = 1

B = (1)/(4)

Achando A:

4 A + (1)/(4) = 0 ; 4 A = - (1)/(4) ; A = - (1)/((4)/(4)) ; A = - (1)/(16)

A + C = 0 ; - (1)/(16) + C = 0 ; C = (1)/(16)

Subsittuindo:

(1)/(u^2 ( u + 4 )) = - (1)/(16 u) + (1)/(4 u^2) + (1)/(16 (u + 4)) = (1)/(4) (- (1)/(4 u) + (1)/(u^2) + (1)/(4 ( u + 4 )))

Inserindo na integral:

(1)/(4) (- (1)/(4 u) + (1)/(u^2) + (1)/(4 ( u + 4 )))

Passo 2

Organizando a integral:

(1)/(4) (int - (1)/(4 u) + (1)/(u^2) + (1)/(4 ( u + 4 )) d u) = (1)/(4) (- int (1)/(4 u) d u + int (1)/(u^2) d u + int (1)/(4 ( u + 4 )) d u)

Reorganizando:

(1)/(4) (- (1)/(4) int (1)/(u) d u + int (1)/(u^2) d u + (1)/(4) int (1)/(u + 4) d u)

Realizando a primeira integral:

(1)/(4) (- (1)/(4) int (1)/(u) d u) = - (1)/(16) ln (|u|)

Resolvendo a segunda integral:

(1)/(4) (int (1)/(u^2) d u) = (1)/(4) * - (1)/(u) = - (1)/(4 u)

Resolvendo a terceira integral:

(1)/(4) ( (1)/(4) int (1)/(u + 4) d u ) = (1)/(16) ln (|u + 4|)

Passo 3

Juntando as integrais:

- (1)/(16) ln (|u|) - (1)/(4 u) + (1)/(16) ln (|u + 4|) + C

Realizando a multiplicação por (1)/(5) – Coefiente no inicio da Integral – Verificar no passo 1:

- (1)/(80) ln (|u|) - (1)/(20 u) + (1)/(80) ln (|u + 4|) + C

Substituindo, usando u = x^5

- (1)/(80) ln (|x^5|) - (1)/(20 x^5) + (1)/(80) ln (|x^5 + 4|) + C = - (1)/(20 x^5) + (1)/(80) ln (|(x^5 + 4)/(x^5)|) + C

Resposta

- (1)/(20 x^5) + (1)/(80) ln (|(x^5 + 4)/(x^5)|) + C

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