Calcule a integral abaixo:

50 –

∫ 1 x 6 ( x 5 + 4 ) d x  

Passo 1

Multiplicando temos:

∫ 1 x 6 ( x 5 + 4 ) ⋅ x 4 x 4 d x =   ∫ x 4 x 10 ( x 5 + 4 ) d x

Primeiramente urilizaremos o método de substituição udu:

u = x 5

d u = 5 x 4

d x = 1 d u = 1 5 x 4

Substituindo:

∫ x 4 u 2 ( u + 4 ) ⋅ 1 5 x 4 d u = 1 5 ∫ 1 u 2 ( u + 4 ) d u

Realizando pelo método de frações parciais:

1 u 2 ( u + 4 ) = A u + B u 2 + C u + 4

Tirando mmc:

1 u 2 ( u + 4 ) = A u ( u + 4 ) + B u + 4 + C u 2 u 2 ( u + 4 )

Simplificando os denominadores temo:

1 = A u 2 + 4 u + B u + 4 + C u 2

Aplicando a distributiva:

1 = A u 2 + 4 A u + B u + 4 B + C u 2

Colocando em evidência:

1 = A + C u 2 + 4 A + B u + 4 B

A + C = 0

4 A + B = 0

4 B = 1

B = 1 4

Achando A:

4 A + 1 4 = 0 ; 4 A = - 1 4 ; A = - 1 4 4 ; A = - 1 16

A + C = 0 ;   - 1 16 + C = 0 ; C = 1 16

Subsittuindo:

1 u 2 ( u + 4 ) = - 1 16 u + 1 4 u 2 + 1 16 u + 4 = 1 4 - 1 4 u + 1 u 2 + 1 4 ( u + 4 )

Inserindo na integral:

1 4 - 1 4 u + 1 u 2 + 1 4 ( u + 4 )

Passo 2

Organizando a integral:

1 4 ∫ - 1 4 u + 1 u 2 + 1 4 ( u + 4 ) d u = 1 4 - ∫ 1 4 u d u +   ∫ 1 u 2 d u + ∫ 1 4 ( u + 4 ) d u

Reorganizando:

1 4 - 1 4 ∫ 1 u d u + ∫ 1 u 2 d u + 1 4 ∫ 1 u + 4 d u

Realizando a primeira integral:

1 4 - 1 4 ∫ 1 u d u =   - 1 16 ln ⁡ u

Resolvendo a segunda integral:

1 4 ∫ 1 u 2 d u = 1 4 ⋅ - 1 u = - 1 4 u

Resolvendo a terceira integral:

1 4 ( 1 4 ∫ 1 u + 4 d u ) = 1 16 ln ⁡ u + 4

Passo 3

Juntando as integrais:

- 1 16 ln ⁡ u - 1 4 u + 1 16 ln ⁡ u + 4 + C

Realizando a multiplicação por 1 5 – Coefiente no inicio da Integral – Verificar no passo 1:

- 1 80 ln ⁡ u - 1 20 u + 1 80 ln ⁡ u + 4 + C

Substituindo, usando u = x 5

- 1 80 ln ⁡ x 5 - 1 20 x 5 + 1 80 ln ⁡ x 5 + 4 + C = - 1 20 x 5 + 1 80 ln ⁡ x 5 + 4 x 5 + C  

Resposta

- 1 20 x 5 + 1 80 ln ⁡ x 5 + 4 x 5 + C

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