Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 68
Fatore como uma diferença de quadrados adicionando e subtraindo a mesma quantidade. Use essa fatoração para calcular .
Passo 1
Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando.
Uma diferença de quadrados é , e "adicionar e subtrair a mesma quantidade" é algo que você faria ao completar o quadrado.
Vamos fazer a fatoração adicionado e subtraindo :
Pronto, agora podemos usar Frações Parciais em , vamos lá!
Passo 2
Vamos achar os valores de , , e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :
Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:
Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:
Rerolvendo o sistema vamos achar que:
Pronto, achamos os valores de , , e , vamos agora substituir de volta na integral:
Vamos resolver as duas integrais separadamente.
Passo 3
Vamos resolver, com a primeira vamos fazer uma manipulação:
Para a primeira vamos fazer uma Substituição:
Derivando:
Substituindo temos:
É fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Vamos agora fazer a substituição:
Passo 4
Para a segunda vamos fazer uma Substituição:
Derivando:
Substituindo temos:
É fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Vamos agora fazer a substituição:
Passo 5
Vamos resolver a segunda:
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Vamos aplicar:
Passo 6
Juntando tudo agora:
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo: