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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 3

Calcule a integral com a ajuda de uma substituição u apropriada.

3. ∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x

Passo 1

Aqui, pelo método da substituição simples, vamos ter:

u = cos ⁡ x

d u = - sen ⁡ x d x

Vamos fazer uma pequena manipulação na integral, da seguinte forma, sem alterar a integral:

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x = - ∫ cos ⁡ x - sen ⁡ x d x

Agora, aplicamos diretamente na integral original:

- ∫ cos ⁡ x - sen ⁡ x d x = - ∫ u d u

Passo 2

Reescrevemos essa integral da seguinte forma:

- ∫ u d u = - ∫ u 1 / 2 d u

Agora, resolvemos diretamente:

- ∫ u 1 2 d u = - u 1 2 + 1 1 2 + 1 = - u 3 2 3 2 = - 2 u 3 3 + C

Nisso, só temos que retornar à variável original:

- 2 u 3 3 + C = - 2 cos ⁡ x 3 3 + C

Resposta

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x = - 2 cos ⁡ x 3 3 + C

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