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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 20

Calcule a integral int e^(root(3)(x)) d x .

Passo 1

Nessa questão será necessário fazer uma substituição simples do tipo u.du, logo mudaremos as varáveis da seguinte forma:

u = root(3)(x ) -> x = u^3

d x = 3 u^2 d u

Voltando para a integral:

int e^(root(3)(x)) d x

int e^u 3 u^2 d u

Ainda não podemos resolver logo a integral, então faremos outra substituição de forma diferente agora do tipo u.dv ou integração por partes:

w = u^2

d v = e^u d u

d w = 2 u d u

v = e^u

Aplicando na integral:

3 int e^u u^2 d u

w v - int v d w

3 (u^2 e^u - int e^u 2 u d u)

Mais uma vez teremos que usar integração por partes, logo:

int e^u 2 u d u

w = u -> d w = d u

d v = e^u -> v = e^u

Voltando para a integral, teremos:

2 (u e^u - int e^u d u)

3 u^2 e^u - 6 u e^u + 6 e^u + C

3 e^u (u^2 - 2 u + 6) + C

Voltando a variável inicial, temos:

3 e^u (u^2 - 2 u + 6) + C

3 e^(root(3)(x )) (root(3)(x )^2 - 2 root(3)(x ) + 2) + C

Resposta

3 e^(root(3)(x )) (root(3)(x )^2 - 2 root(3)(x ) + 2) + C

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