Resolva a integral usando integração por partes com a indicação das escolhas de u   e   d v .

∫ x ln ⁡ x d x ;                 u = ln ⁡ x ,   d v = x d x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral usando integração por partes:

∫ x ln ⁡ x d x

Lembre-se que a integração por partes é dada da seguinte forma:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

A questão já nos deu quem é u e quem é d v :

u = ln ⁡ x

d v = x d x

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Pessoal, o enunciado já nos dá a indicação da escolha da integral por partes, mas vamos lembrar as prioridades para a substituição de u .

Usamos seguimos a ordem do famoso principio LIATE, que quer dizer:

L ogaritmo

I nversa

A lgebrica (polinomial)

T rigonometrica

E xponencial

Neste exercício, temos uma parte algébrica e uma logarítmica. Então, por LIATE, vamos usar a logarítmica para o valor de u :

u = ln ⁡ x ;         d v = x d x

d u = 1 x d x ;         v = 2 3 x 3 / 2  

Passo 3

Aplicando a Integração por partes, temos:

∫ x ln ⁡ x d x = 2 3 x 3 / 2 ln ⁡ x - ∫ 2 3 x 3 2 1 x   d x ∴

∫ x ln ⁡ x d x = 2 3 x 3 2 ln ⁡ x - 2 3 ∫ x 1 2   d x ∴

∫ x ln ⁡ x d x = 2 3 x 3 2 ln ⁡ x - 2 3 2 3 x 3 2 + C ∴

∫ x ln ⁡ x d x = 2 3 x 3 / 2 ln ⁡ x - 4 9 x 3 2 + C

Arrumando esta equação:

∫ x ln ⁡ x d x = 2 3 x 3 2 ln ⁡ x - 2 3 + C

Entendeu direitinho?? Responde aee😉

Resposta

∫ x ln ⁡ x d x = 2 3 x 3 2 ln ⁡ x - 2 3 + C

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