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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 42

Resolva a integral por partes:

int (arcsin (ln (x)))/(x) d x

Passo 1

Fala aí galera, vamos resolver mais um problema de cálculo. Primeiramente, vamos fazer a substituição. Se olharmos bem, temos um ln (x) e um (1)/(x) , que é a derivada de ln (x) . Logo:

u = ln (x)

d u = (1)/(x) d x

Substituindo, teremos:

int arcsin (u) d u

Essa integral é simples, sabemos que:

int arcsin (u) d u = u a r c s e n (u) + sqrt(1 - u^2) + C

Porém, precisamos daintegral em x, e não u. Logo:

u a r c s e n (u) + sqrt(1 - u^2) + C = l n ( x ) xx a r c s e n (l n ( x )) + sqrt(1 - l n ( x )^2) + C

Portanto:

int (arcsin (ln (x)))/(x) d x = l n ( x ) xx a r c s e n (l n ( x )) + sqrt(1 - l n ( x )^2) + C

Resposta

int (arcsin (ln (x)))/(x) d x = l n ( x ) xx a r c s e n (l n ( x )) + sqrt(1 - l n ( x )^2) + C

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Seja n um natural diferente de zero. Verifiqueb) int_0^1 (1 - x^2)^n d x = (2^(2 n) (n !)^2)/((2 n + 1) !)