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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 2

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ ln ⁡ ( 1 - x ) d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = ln ⁡ ( 1 - x ) ;

d u = - 1 1 - x   d x ;

d v = d x ;

v = ∫ d x = x .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = ln ⁡ 1 - x ⋅ x - ∫ x ⋅ - 1 1 - x   d x

Resolveremos o último termo por substituição u   d u :

u = 1 - x → x = u + 1 ;

d u = - d x ;

∫ x ⋅ - 1 1 - x   d x = ∫ - x 1 - x d x = ∫ - u + 1 u d u = ∫ - 1 - 1 u   d u = - u - ln ⁡ u = x - 1 - ln ⁡ | 1 - x |

Voltando, temos:

∫ u d v = x ⋅ ln ⁡ 1 - x - x - 1 - ln ⁡ 1 - x = x ⋅ ln ⁡ 1 - x + ln ⁡ 1 - x + 1 - x

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

x ⋅ ln ⁡ 1 - x + ln ⁡ 1 - x + 1 - x + c

Resposta

x ⋅ ln ⁡ 1 - x + ln ⁡ 1 - x + 1 - x + c

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