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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 7

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ e x cos ⁡ x 2 d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = e x ;

d u = e x   d x ;

d v = cos ⁡ x 2   d x ;

v = ∫ cos ⁡ x 2   d x = 2   s e n x 2 .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = e x ⋅ 2   s e n x 2 - ∫ 2   s e n x 2 ⋅ e x   d x

∫ u d v = 2   s e n x 2   e x - 2 ∫   s e n x 2 ⋅ e x   d x

Utilizaremos outra integração por partes resolvermos o último termo:

u = e x ;

d u = e x   d x ;

d v = s e n x 2   d x ;

v = ∫ s e n x 2   d x = - 2   c o s x 2 .

∫ u d v = 2   s e n x 2   e x - 2 ∫   s e n x 2 ⋅ e x   d x = 2   s e n x 2   e x - 2 - 2 cos ⁡ x 2 e x - ∫ - 2 c o s x 2 ⋅ e x   d x

Há uma repetição do termo ∫ u d v ao longo da resolução da integral, então para não escrevermos uma integral totalmente confusa, faremos:

∫ u d v = 2   s e n x 2 e x + 4  cos ⁡ x 2 e x - 4 ∫ u d v

5 ∫ u d v = 2   s e n x 2 e x + 4  cos ⁡ x 2 e x

∫ u d v = 1 5 2   s e n x 2 e x + 4  cos ⁡ x 2 e x

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

1 5 2   s e n x 2 e x + 4  cos ⁡ x 2 e x + c

Resposta

1 5 2   s e n x 2 e x + 4  cos ⁡ x 2 e x + c

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