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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 57

Calcule a integral completando o quadrado e usando a fórmula 6.

∫ 1 x 2 - 2 x d x

Passo 1

Como o enunciado pede, primeiro vamos completar o quadrado no denominador e depois usar a fórmula 6 apresentada no livro:

∫ 1 x 2 - a 2 d x = 1 2 a ln ⁡ x - a x + a + C

Vamos completar o quadrado no denominador:

x 2 - 2 x = x 2 - 2 x + 1 - 1 = x - 1 2 - 1

Assim,

∫ 1 x 2 - 2 x d x = ∫ 1 x - 1 2 - 1 d x

Passo 2

Antes de usarmos a fórmula, vamos fazer u = x - 1 , de modo que d u = d x . Assim,

∫ 1 x - 1 2 - 1 d x = ∫ 1 u 2 - 1 d u

Usando a fórmula

∫ 1 u 2 - 1 d u = 1 2 ln ⁡ u - 1 u + 1 + C

Voltando a variável x :

∫ 1 x 2 - 2 x d x = 1 2 ln ⁡ x - 2 x + C

Resposta

1 2 ln ⁡ x - 2 x + C

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