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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 16

Calcule a integral. Talvez seja necessário utilizar uma substituição primeiro

∫ 4 x   x 3 + 4 x d x

Passo 1

Inicialmente, perceba que o grau do polinômio de baixo é maior que o de cima. Além disso, podemos reescrever o polinômio do denominador em função de suas raízes

Sendo assim,

∫ 4 x   x 3 + 4 x d x = ∫ 4 x   x ( x 2 + 4 ) d x

Cujas raízes do denominador são x = 0 e x = ± 2 .

Passo 2

Perceba que temos um fator irredutível no denominador, dessa forma teremos que

4 x   x ( x 2 + 4 ) = A x + B x + C x 2 + 4

Realizando o MMC entre as frações teremos,

4 x x ( x 2 + 4 ) = A x 2 + 4 + B x 2 + C x x ( x 2 + 4 )

Como os denominadores são iguais então precisaremos apenas manipular os numeradores, ou seja,

4 x = A x 2 + 4 + B x 2 + C x

4 x = A + B x 2 + C x + 4 A

Utilizando igualdade de polinômios teremos :

A + B = 0 C = 4 4 A = 0 ⇒ A + B = 0 A = 0 ⇒ B = 0

Logo,

4 x   x ( x 2 + 4 ) = A x + B x + C x 2 + 4

= 0 x + 0 x + 4 x 2 + 4 = 4 x 2 + 4

Passo 3

Precisamos agora, calcular a integral

∫ 4 x 2 + 4 d x

Usando a propriedade da retirada da constante

= 4 ∫ 1 x 2 + 4 d x

Utilizando o método de substituição , suponha u = x 2 ⇒ d u = 1 2 d x ⇒ d x = 2 d u   . Além disso, x = 2 u ,

4 ∫ 1 x 2 + 4 d x = 4 ∫ 1 2 u 2 + 4 2 d u

= 8 ∫ 1 4 u 2 + 4 d u = 8 ∫ 1 4 ( u 2 + 1 ) d u

= 2 ∫ 1 ( u 2 + 1 ) d u = 2 t g - 1 ( u )

Como estamos com um integral indefinida, desejamos encontrar a resposta em função de x , sendo assim, precisamos voltar a variável anterior, isto é,

4 ∫ 1 x 2 + 4 d x = 2 t g - 1 u = 2 t g - 1 x 2

Logo,

∫ 4 x 2 + 4 d x = 2 t g - 1 x 2

Portanto,

∫ 4 x   x 3 + 4 x d x = 2 t g - 1 x 2 + C

Todas as integrais que calculamos foram indefinidas, sendo assim em cada uma delas era necessário um constante, porém, para economia de notação preferimos acrescentar uma única constante C , ao final. Já que ela corresponderá a soma de todas as constantes não acrescentadas até o momento.

Resposta

∫ 4 x   x 3 + 4 x d x = 2 t g - 1 x 2 + C

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