Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 12
Calcule a integral. Talvez seja necessário utilizar uma substituição primeiro
Passo 1
Inicialmente, perceba que o grau do polinômio de baixo é maior que o de cima. Além disso, podemos reescrever o polinômio do denominador em função de suas raízes
Sendo assim,
Cujas raízes do denominador são e , onde é raízes duas vezes.
Passo 2
Note que o denominador é um produto de fatores lineares. Porém, não podemos utilizar o método de Heaviside para decompor em frações parciais, pois são raízes duas vezes.
Sendo assim, vamos utilizar outros métodos de decomposição em frações parciais.
Dessa forma,
Realizando o MMC entre as frações teremos,
Como os denominadores são iguais então precisaremos apenas manipular os numeradores, ou seja,
Substituindo valores estratégicos teremos
Para
Para
Supondo arbitrariamente teremos,
Como e então
Logo,
Passo 3
Precisamos agora, calcular a integral
Utilizando a propriedade da soma
Usando a propriedade da retirada da constante
Utilizando o método de substituição em cada uma das integrais acima teremos,
Portanto,
Todas as integrais que calculamos foram indefinidas, sendo assim em cada uma delas era necessário um constante, porém, para economia de notação preferimos acrescentar uma única constante , ao final. Já que ela corresponderá a soma de todas as constantes não acrescentadas até o momento.