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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 13

Calcule a integral. Talvez seja necessário utilizar uma substituição primeiro

∫ s e n ( θ )   cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 2 d θ

Passo 1

Inicialmente, simplificaremos a expressão de dentro da integral. Para isso utilizaremos o método de substituição, dessa maneira suponha que u = cos ⁡ θ ⇒ d u = - s e n θ d θ ⇒ d u - s e n θ d u . Logo,

∫ s e n ( θ )   cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 2 d θ = ∫ s e n θ u 2 ⁡ + u - 2 d u - s e n θ = - ∫ 1 u 2 ⁡ + u - 2 d u

Completando quadrados teremos,

= - ∫ 1 u 2 ⁡ + u - 2 d u = - ∫ 1 u + 1 2 2 - 9 4 d u

Passo 2

Perceba que o denominador ainda não está do jeito que desejamos . Sendo assim, realizaremos um nova substituição, suponha que v = u + 1 2 ⇒ d v = d u .Assim,

- ∫ 1 u + 1 2 2 - 9 4 d u = - ∫ 1 v 2 - 9 4 d v = - ∫ 4 4 v 2 - 9   d v

Utilizando a propriedade de retirada da constante,

= - 4 ∫ 1 4 v 2 - 9   d v

Passo 3

Perceba que o denominador ainda não está do jeito que desejamos. Sendo assim, realizaremos

uma nova substituição, suponha que w = 2 3 v ⇒ d w = 2 3 d v   .Além disso, v = 3 2 w

Dessa forma,

= - 4 ∫ 1 4 3 2 w 2 - 9     3 2 d w =     - 4 ∫ 1 4 9 4 w 2 - 9     3 2 d w =     - 6 ∫ 1 9 w 2 - 9     d w    

=     - 6 ∫ 1 9 ( w 2 - 1 )     d w     =     - 6 9 ∫ 1 ( w 2 - 1 )     d w =     - 2 3 ∫ 1 ( w 2 - 1 )     d w

Com isso podemos reescrever a integral

- 2 3 ∫ 1 ( w 2 - 1 )     d w = - 2 3 ∫ 1 ( w - 1 ) ( w + 1 )     d w

Note que o denominador é um produto de fatores lineares . Dessa maneira, podemos utilizar o método de Heaviside para decompor 1 ( w - 1 ) ( w + 1 )   em frações parciais.

Como as raízes de do denominador são w = 1 e w = - 1 . Determinamos,

A 1 = 1 ( 1 + 1 )   = 1 2

Lembrando que ( w - 1 ) foi oculto do denominador.

A 2 = 1 ( - 1 - 1 )   = - 1 2

Lembrando que ( w + 1 ) foi oculto do denominador.

Logo,

1 ( w - 1 ) ( w + 1 )   = A 1 w - 1 + A 2 w + 1 = 1 2 w - 1 + - 1 2 w + 1 = 1 2 1 w - 1 - 1 2 1 w + 1

Dessa forma,

- 2 3 ∫ 1 w - 1 w + 1   d w = - 2 3 ∫ 1 2 1 w - 1 - 1 2 1 w + 1 d w

= - 2 3 1 2 ∫ 1 w - 1 - 1 2 ∫ 1 w + 1 d w = - 2 3 1 2 ln ⁡ w - 1 - 1 2 l n ⁡ | w + 1 |

Assim,

∫ s e n ( θ )   cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 2 d θ = - 2 3 ∫ 1 w - 1 w + 1   d w

= - 2 3 1 2 ln ⁡ w - 1 - 1 2 ln ⁡ w + 1 = - 1 3 ln ⁡ w - 1 - l n ⁡ | w + 1 |

Passo 4

Perceba que encontramos o valor da integral, porém, como a integral é indefinida precisamos voltar para variável original sendo assim,

∫ s e n ( θ )   cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 2 d θ

= - 1 3 ln ⁡ ( 2 3 v ) - 1 - l n ⁡ | ( 2 3 v ) + 1 |

= - 1 3 ln ⁡ 2 3 u + 1 2 - 1 - ln ⁡ 2 3 u + 1 2 + 1

= - 1 3 ln ⁡ 2 3 cos ⁡ θ + 1 2 - 1 - ln ⁡ 2 3 cos ⁡ θ + 1 2 + 1

= - 1 3 ln ⁡ 2 3 cos ⁡ θ + 1 2 - 1 - ln ⁡ 2 3 cos ⁡ θ + 1 2 + 1

= - 1 3 ln ⁡ 2 3 cos ⁡ θ + 1 3 - 1 - ln ⁡ 2 3 cos ⁡ θ + 1 3 + 1

= - 1 3 ln ⁡ 2 3 cos ⁡ θ - 2 3 - ln ⁡ 2 3 cos ⁡ θ + 4 3

= - 1 3 ln ⁡ 1 3 ( 2 cos ⁡ θ - 2 ) - ln ⁡ 1 3 ( 2 cos ⁡ θ + 4 )

Pela propriedades de logaritmo ,

= - 1 3 ln ⁡ 1 3 ( 2 cos ⁡ θ - 2 ) 1 3 ( 2 cos ⁡ θ + 4 ) = - 1 3 ln ⁡ ( 2 cos ⁡ θ - 2 ) ( 2 cos ⁡ θ + 4 ) = - 1 3 ln ⁡ ( cos ⁡ θ - 1 ) ( cos ⁡ θ + 2 )

Portanto,

∫ s e n ( θ )   cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 2 d θ = - 1 3 ln ⁡ ( cos ⁡ θ - 1 ) ( cos ⁡ θ + 2 ) + C

Todas as integrais que calculamos foram indefinidas, sendo assim em cada uma delas era necessário um constante, porém, para economia de notação preferimos acrescentar uma única constante C , ao final. Já que ela corresponderá a soma de todas as constantes não acrescentadas até o momento.

Resposta

∫ s e n ( θ )   cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 2 d θ = - 1 3 ln ⁡ ( cos ⁡ θ - 1 ) ( cos ⁡ θ + 2 ) + C

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