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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 45

Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.

∫ 1 x - x 3 d x

Sugestão: Substitua u = x 6 ,

Passo 1

A questão pede para fazermos uma substituição e depois calcular a integral:

∫ 1 x - x 3 d x

O enunciado deu como sugestão fazer a substituição u = x 6 , assim x = u 6 ⇒ d x = 6 u 5 d u . Desta forma:

∫ 1 x - x 3 d x = ∫ 1 u 3 - u 2 6 u 5 d u = 6 ∫ u 5 u 2 ( u - 1 ) d u = 6 ∫ u 3 u - 1 d u

Podemos dizer que:

u 3 = u 2 + u + 1 u - 1 + 1

Dividindo u 3 por u - 1 :

u 3 u - 1 = u 2 + u + 1 u - 1 + 1 u - 1 = u 2 + u + 1 + 1 u - 1

Portanto,

∫ u 3 u - 1 d u = ∫ u 2 + u + 1 + 1 u - 1 d u

Passo 2

Portanto,

6 ∫ u 3 u - 1 d u = 6 u 3 3 + 6 u 2 2 + 6 + 6 ln ⁡ u - 1 + C

Voltando para a variável x :

∫ 1 x - x 3 d x = 2 x + 3 x 3 + 6 + 6 ln ⁡ x 6 - 1 + C

Resposta

2 x + 3 x 3 + 6 + 6 ln ⁡ x 6 - 1 + C

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Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no exemplo 7). Não determine os valores númericos dos coeficientes. 3 .ax - 2 x 2 + 3 x - 4b x 2 ( x - 1 ) ( x 2 + x + 1 )
Calcule as integrais. Talvez seja necessário fazer substituição primeiro.
Calcule a integral. Talvez seja necessário utilizar uma substituição primeiro ∫ x x 2 - 3 x + 2d x
Calcule a integral. Talvez seja necessário utilizar uma substituição primeiro ∫ 3 x 2 + 4 x + 4x 3 + x d x
Calcule a integral. Talvez seja necessário utilizar uma substituição primeiro ∫ ( 3 v - 7 ) ( v - 1 ) ( v - 2 ) ( v - 3 )d v