Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 49
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
A questão pede para fazermos uma substituição, para expressar o integrando como uma função racional, e depois calcular a integral.
Uma função racional nada mais é do que qualquer função que possa ser expressa como uma razão de polinômios. Mas aqui a gente tem uma razão entre funções trigonométricas. Então, precisamos encontrar uma substituição que transforme essas funções em polinômios, pra gente poder integrar.
Sendo assim, vamos usar:
Então, vamos lá!
Passo 2
Substituindo e na integral, temos:
Então, já chegamos na nossa função racional. Agora falta integrar. Pra isso, como a gente tem uma fração que tem o grau do numerador menor do que o grau no denominador, nós podemos recorrer às frações parciais.
E para usar as frações parciais, precisamos fatorar o nosso denominador:
Separando em frações parciais:
Assim, tirando MMC do lado direito da equação, temos:
Como os denominadores já são iguais, vamos igualar os numeradores:
Aplicando a distributiva nos produtos:
Colocando em evidência:
Passo 3
Agora vamos comparar os coeficientes de mesma potência. Repare que o único termo do lado direito que tem é o , do lado esquerdo não tem ninguém, então é zero:
Aí sobra:
Colocando isso em um sistema:
Resolvendo esse sistema, temos e . Então, jogando isso na integral, teremos:
Passo 4
Agora vamos calcular a integral:
Onde é uma constante de integração. Só falta a gente voltar para a variável original , usando a substituição que definimos no passo (). Assim, temos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉