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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 80

Calcule a integral :

int_(pi // 4)^(pi // 2) sqrt(1 + cos 4 x d x)

Passo 1

Fala ai!!

Galera, o primeiro passo em questões de integral é identificar o método de integração que devemos utilizar para resolver a integração.

Show! Sabendo disso, o que devemos fazer para resolver a integral acima? Nesse caso, vamos utilizar integração por substituição:

Vamos fazer x = (u)/(2) então d x = (1)/(2) d u

int_(pi // 4)^(pi // 2) sqrt(1 + cos 4 x d x) = int_(pi // 4)^(pi // 2) sqrt(1 + cos (4 (u)/(2))) (1)/(2) d u

= (1)/(2) int_(pi // 4)^(pi // 2) sqrt(1 + cos (2 u) d u)

Aqui devemos lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

cos 2 x = - 1 + 2 cos^2 x

Voltando para integral:

= (1)/(2) int_(pi // 4)^(pi // 2) sqrt(1 - 1 + 2 cos^2 u ) d u

= (1)/(2) int_(pi // 4)^(pi // 2) sqrt(2 cos^2 u ) d u

= (1)/(2) sqrt(2) int_(pi // 4)^(pi // 2) sqrt(cos^2 u ) d u

= (sqrt(2))/(2) int_(pi // 4)^(pi // 2) cos^2 u d u

= (sqrt(2))/(2) sin u | (pi // 2)/(pi // 4)

= (sqrt(2))/(2) sin 2 x | (pi // 2)/(pi // 4) = (sqrt(2))/(2)

Resposta

(sqrt(2))/(2)

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