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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 32

Calcule a integral.

∫ 0 5 2 e x + 4 cos ⁡ x d x

Passo 1

E aí, bora calcular essa integral 😎?

Precisamos descobrir quanto vale a integral definida

∫ 0 5 2 e x + 4 cos ⁡ x d x .

Observe que nessa questão, o intervalo de integração [ a ,   b ] é igual a [ 0 ,   5 ] e o integrando é a função

f x =   2 e x + 4 cos ⁡ x .

🛠️ Sabendo disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

  • Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo: se a função f é contínua no intervalo [ a ,   b ] então

    • ∫ a b f x d x = ∫ f x d x a b

    onde ∫ f x d x é a primitiva da função f , ou seja,

    d d x ∫ f ( x ) d x   = f x .

  • A integral indefinida de uma soma de funções é a soma das integrais indefinidas de cada uma das funções.

    • ∫ f x + g x d x =   ∫ f x d x +   ∫ g ( x ) d x .

  • A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

∫ c f x d x =   c ∫ f ( x ) d x .

  • A integral indefinida da função exponencial e x é

    • ∫ e x d x = e x + B ,

    onde B é uma constante qualquer.

  • A integral indefinida da função cosseno cos ⁡ x é

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + B ,

onde B é uma constante qualquer.

Bem, isso é tudo o que precisamos para resolver a questão!

👀 Nos próximos passos, vamos encontrar a integral indefinida da função f e obter o seu valor nos extremos do intervalo [ 0 ,   5 ] .

Passo 2

Começamos encontrando a integral indefinida

∫ 2 e x + 4 cos ⁡ x   d x .

Para isso, usamos as propriedades das integrais indefinidas dadas no Passo 1 .

Logo,

∫ 2 e x + 4 cos ⁡ x   d x =   2 ∫ e x d x +   4 ∫ cos ⁡ x d x .

Usando as integrais indefinidas da função exponencial e da função cosseno, temos que

∫ 2 e x + 4 cos ⁡ x   d x = 2 e x + 4 sen ⁡ x + C .

Observe que derivando a expressão que encontramos, temos que:

d d x 2 e x + 4 sen ⁡ x + C = 2 e x + 4 cos ⁡ x = f ( x ) ,

então não fizemos besteira e encontramos a integral indefinida de f certinha 🎉!

Passo 3

Agora, só precisamos usar a Parte 2 do Teorema Fundamental. Lembrando que o nosso intervalo de integração é [ 0 ,   5 ] , temos:

∫ 0 5 2 e x + 4 cos ⁡ x d x =   ∫ 2 e x + 4 cos ⁡ x   d x 0 5 .

Como no Passo anterior encontramos que

∫ 2 e x + 4 cos ⁡ x   d x = 2 e x + 4 sen ⁡ x + C ,

então calculando o valor da integral indefinida nos pontos extremos do intervalo de integração temos que:

Em x =   5

∫ 2 e x + 4 cos ⁡ x   d x ​ x = 5 = 2 e 5 + 4 sen ⁡ 5   + C .

Em x = 0

∫ 2 e x + 4 cos ⁡ x   d x ​ x = 0 = 2 e 0 + 4 sen ⁡ 0 + C ,

ou seja,

∫ 2 e x + 4 cos ⁡ x   d x ​ x = 0 = 2 + C .

Substituindo os valores encontrados na igualdade do Teorema, temos que:

∫ 0 5 2 e x + 4 cos ⁡ x d x = 2 e 5 + 4 sen ⁡ 5 +   C - 2 + C .  

Dessa forma, a integral procurada vale

∫ 0 5 2 e x + 4 cos ⁡ x d x = 2 e 5 + 4 sen ⁡ 5 - 2 .

Resposta

A integral vale:

∫ 0 5 2 e x + 4 cos ⁡ x d x = 2 e 5 + 4 sen ⁡ 5 - 2 .

.

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Seja f contínua em - a , a . Mostrar que:Se f é par, então ∫ - a a f x d x = 2 ∫ 0 a f x d x .Se f é ímpar, então ∫ - a a f x d x = 0 .
Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdade: ∫ 1 3 3 x 2 + 4 d x ≥ ∫ 1 3 2 x 2 + 5 d x
Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdade: ∫ - 2 - 1 d x x ≤ ∫ - 2 - 1 ( - 1 2 - x 4 ) d x
int_(- 1)^2 x (1 + x^3) d x
int_(- 3)^0 ( x^2 - 4 x + 7 ) d x