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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.1 - Ex. 25

Calcule a integral.

int_0^1 t cosh t d t

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos a seguinte integral:

int_0^1 t cosh t d t

Não é uma integral tão banal de resolver, então vamos precisar usar um método de integração! Pra a gente usar substituição simples teríamos que ter selecionar um u e a derivada do u , d u também deve ser encontrada na expressão!

Isso não acontece aqui, então vamos seguir com integração por partes!

Dica: Sempre tente resolver a integral pelo método mais simples!

Para integrar por partes temos:

int u d v = u v - int v d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Identificando u = t e d v = cosh t d t , temos que d u = d t e v = s e n h t . Nessa questão você precisar lembrar que (cosh x)^' = s e n h x e que (s e n h x)^' = cosh x .

A integral por partes será

int_0^1 t cosh t d t = [t s e n h t]_0^1 - int_0^1 s e n h t d t

Passo 2

Assim, temos que

int_0^1 t cosh t d t = s e n h 1 - 0 - int_0^1 s e n h t d t = s e n h 1 - int_0^1 s e n h t d t

Passo 3

Como a primitiva do seno hiperbólico é o cosseno hiperbólico:

int_0^1 t cosh t d t = s e n h 1 - [cosh t]_0^1 = s e n h 1 - cosh 1 + cosh 0

Como cosh t = (e^(- t) + e^t)/(2) , temos que cosh 0 = (1 + 1)/(2) = 1 , segue que

int_0^1 t cosh t d t = s e n h 1 - cosh 1 + 1

Resposta

s e n h 1 - cosh 1 + 1

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Se f (0) = g (0) = 0 e f ' ' e g ' ' são contínuas, mostre queint_0^a f (x) g ' ' ( x ) = f (a) g^' (a) - f^' (a) g (a) + int_0^a f^(' ') (x) g (x) d x
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Calcule a integral.int x sen^2 x d x