Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 83
As funções e não têm primitivas expressas por meio de funções elementares, mas tem. Calcule
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular encontrar o valor da integral indefinida da função , sabendo que ela tem uma primitiva elementar, ou seja, que a primitiva dela é expressa por meio de funções elementares.
Só pra relembrar: funções elementares são aquelas funções que podem ser expressas explicitamente usando apenas operações elementares, como adição, subtração, multiplicação, divisão e raiz.
Beleza, então sabemos que essa função possui uma primitiva. Vamos encontra-la utilizando os conceitos de antiderivada e de técnicas e estratégias de integração.
Vamos lá!
Passo 2
Podemos reescrever a integral da seguinte maneira:
E como a integral da soma é igual a soma das integrais, temos:
Podemos então utilizar a integração por partes para resolver a integral. Lembra dela? A integral por partes é definida assim:
Fazendo:
Passo 3
Dessa forma, substituindo na integral, ficamos com:
Sabemos pelo Teorema Fundamental do cálculo que a primitiva de é igual a ela mesma. Assim, vamos ter:
Onde é uma constante de integração. E simplificando, teremos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉