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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 11

Calcule a integral.

int (1 + cos theta)^2 d theta

Passo 1

Precisamos calcular a integral indefinida usando relações trigonométricas. O primeiro passo é desenvolver a expressão dentro da integral:

int (1 + cos theta)^2 d theta = int (1 + 2 cos theta + cos^2 theta) d theta

Usando a relação do arco duplo:

cos 2 theta = cos^2 theta - s e n^2 theta = cos^2 theta - (1 - cos^2 theta) = 2 cos^2 theta - 1

Assim,

cos^2 theta = (1 + cos 2 theta)/(2)

Passo 2

Substituindo a relação do arco duplo na integral:

int (1 + cos theta)^2 d theta = int (1 + 2 cos theta + (1)/(2) + (1)/(2) cos 2 theta) d theta = int ((3)/(2) + 2 cos theta + (1)/(2) cos 2 theta) d theta

Passo 3

Calculando a integral:

int (1 + cos theta)^2 d theta = (3 theta)/(2) + 2 s e n theta + (1)/(4) s e n 2 theta + C

Resposta

(3 theta)/(2) + 2 s e n theta + (1)/(4) s e n 2 theta + C

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