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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 27

Calcule a integral

int_0^((pi)/(3)) tg^5 x sec^4 x d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estou aqui para te ajudar a resolver essa integral. Em situações de integração de funções trigonométricas, é valido a gente utilizar de alguma relação trigonométrica afim de facilitar os cálculos.

A gente vai começar a resolução lembrando da seguinte propriedade: sec^2 x = tg^2 x + 1 . Aplicando isso na nossa integral, temos que

int_0^((pi)/(3)) tg^5 x sec^4 x d x = int_0^((pi)/(3)) tg^5 x ( tg^2 x + 1 ) sec^2 x d x

Passo 2

Agora a gente usa a substituição, aí a gente faz a seguinte propriedade:

u = tg x , d u = sec^2 x d x

Assim, a gente resolve esse monstrão:

int_0^((pi)/(3)) tg^5 x sec^4 x d x = int_0^((pi)/(3)) tg^5 x (tg^2 x + 1) sec^2 x d x

= int_0^(sqrt(3)) u^5 (u^2 + 1) d u

= int_0^(sqrt(3)) (u^7 + u^5) d u = [(1)/(8) u^8 + (1)/(6) u^6]_0^(sqrt(3))

= (81)/(8) + (27)/(6) =

(81)/(8) + (9)/(2) = (81)/(8) + (36)/(8) = (117)/(8)

Resposta

(117)/(8) .

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