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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.1 - Ex. 24

Calcule a integral.

int_0^(pi) x^3 cos x d x

Passo 1

Essa é uma daquela integrais que você vai mais odiar na vida: vamos ter que aplicar partes algumas vezes...

Relembrando a técnica de integração por partes, temos que

int u d v = u v - int v d u

Na primeira aplicação, vamos tomar u = x^3 e d v = cos x d x . Assim, d u = 3 x^2 d x e v = s e n x . Portanto,

int_0^(pi) x^3 cos x d x = [x^3 s e n x]_0^(pi) - 3 int_0^(pi) x^2 s e n x d x

Note que [x^3 s e n x]_0^(pi) = pi^3 s e n pi - 0 = 0 . Assim,

int_0^(pi) x^3 cos x d x = 3 int_0^(pi) x^2 ( - s e n x ) d x

Passo 2

Agora vamos chamar u = x^2 => d u = 2 x d x e d v = - s e n x d x => v = cos x . Assim,

int_0^(pi) x^3 cos x d x = 3 [x^2 cos x]_0^(pi) - 3 int_0^(pi) 2 x cos x d x = - 3 pi^2 - 6 int_0^(pi) x cos x d x

Passo 3

Por fim, vamos tomar u = x => d u = d x e d v = cos x d x => v = s e n x . Desta forma,

int_0^(pi) x cos x d x = [x s e n x]_0^(pi) - int_0^(pi) s e n x d x = 0 + [cos x]_0^(pi) = cos pi - cos 0 = - 2

Assim,

int_0^(pi) x^3 cos x d x = - 3 pi^2 - 6 * (- 2) = 12 - 3 pi^2

Resposta

6 ln 9 - 2 ln 4 - 4

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