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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 12

Calcule a integral.

int x cos^2 x d x

Passo 1

Para resolvermos essa integral, primeiro precisamos fazer uma integral por partes. Relembrando...

int u d v = u v - int v d u

Assim, vamos identificar u = x e d v = cos^2 x . Dessa forma, d u = d x e para achar v precisamos calcular a integral

v = int cos^2 x d x

Passo 2

Neste passo vamos determinar v . Para isso, vamos lembrar a fórmula do arco duplo:

cos^2 x = (1 + cos 2 x)/(2)

Assim,

v = (1)/(2) int (1 + cos 2 x) d x = (1)/(2) x + (1)/(4) s e n 2 x

Desta forma, na integração por partes:

int x cos^2 x d x = x ((1)/(2) x + (1)/(4) s e n 2 x) - int ((1)/(2) x + (1)/(4) s e n 2 x) d x

Passo 3

Vamos agora calcular a última integral:

int x cos^2 x d x = (x^2)/(2) + (x)/(4) s e n 2 x - x^2 + (1)/(8) cos 2 x + C = - (x^2)/(2) + (x)/(4) s e n 2 x + (1)/(8) cos 2 x + C

Resposta

- (x^2)/(2) + (x)/(4) s e n 2 x + (1)/(8) cos 2 x + C

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