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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.8 - Ex. 5a

Verifique se o conjunto abaixo é espaço vetorial real, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão.

a ) Matrizes diagonais n × n .

Passo 1

Pra começar, vamos listar os oito axiomas que um espaço vetorial atende:

A 1 )   u + v + w = u + v + w

A 2 )   u + v = v + u

A 3 )   u + 0 = u

A 4 )   ∀ u ,   ∃ - u ,   u + - u = 0

M 1 )   a b u = a ( b u )

M 2 )   a + b u = a u + b u

M 3 )   a u + v = a u + a v

M 4 )   1 u = u

Agora vamos testar os axiomas!

Passo 2

Vamos pegar três matrizes A , B e C diagonais pra poder testar:

A = a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n

B = b 1 0 ⋯ 0 0 b 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b n

C = c 1 0 ⋯ 0 0 c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c n

A 1 )

A + B + C = a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n + b 1 0 ⋯ 0 0 b 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b n + c 1 0 ⋯ 0 0 c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c n

A + B + C = a 1 + b 1 + c 1 0 ⋯ 0 0 a 2 + b 2 + c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n + b n + c n

A + B + C = a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n + b 1 + c 1 0 ⋯ 0 0 b 2 + c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b n + c n

A + B + C = a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n + b 1 0 ⋯ 0 0 b 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b n + c 1 0 ⋯ 0 0 c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c n

A + B + C = A + ( B + C )

Funcionou!

A 2 )

A + B = a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n + b 1 0 ⋯ 0 0 b 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b n

A + B = a 1 + b 1 0 ⋯ 0 0 a 2 + b 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n + b n = b 1 + a 1 0 ⋯ 0 0 b 2 + a 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b n + a n

A + B = b 1 0 ⋯ 0 0 b 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b n + a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n

A + B = B + A

Tudo tranquilo aqui também.

A 3 )

A + 0 = a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n + 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0

A + 0 = a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n

A + 0 = A

Show de bola, falta só mais uma de adição.

A 4 )

A + ( - A ) = a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n + - a 1 0 ⋯ 0 0 - a 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ - a n

A + ( - A ) = a 1 - a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 - a 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n - a n

A + - A = 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0

A + - A = 0

Beleza, deu certinho! Agora bora pros axiomas de multiplicação!

Passo 3

Bora lá, vamos testar os quatro que faltam!

M 1 )

a b C = a b c 1 0 ⋯ 0 0 c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c n

a b C = a b c 1 0 ⋯ 0 0 a b c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a b c n

a b C = a ( b c 1 ) 0 ⋯ 0 0 a ( b c 2 ) ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a ( b c n )

a b C = a b c 1 0 ⋯ 0 0 b c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b c n

a b C = a b c 1 0 ⋯ 0 0 c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c n

a b C = a ( b C )

Mais uma dando certo! Bora pra próxima.

M 2 )

a + b C = ( a + b ) c 1 0 ⋯ 0 0 c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c n

a + b C = a + b c 1 0 ⋯ 0 0 a + b c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a + b c n

a + b C = a c 1 0 ⋯ 0 0 a c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a c n + b c 1 0 ⋯ 0 0 b c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b c n

a + b C = a c 1 0 ⋯ 0 0 c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c n + b c 1 0 ⋯ 0 0 c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c n

a + b C = a C + b C

Tá acabando!

M 3 )

c A + B = c a 1 + b 1 0 ⋯ 0 0 a 2 + b 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n + b n

c ( A + B ) = c a 1 + c b 1 0 ⋯ 0 0 c a 2 + c b 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c a n + c b n

c ( A + B ) = c a 1 0 ⋯ 0 0 c a 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c a n + c b 1 0 ⋯ 0 0 c b 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c b n

c ( A + B ) = c a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n + c b 1 0 ⋯ 0 0 b 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b n

c ( A + B ) = c A + c B

Mais uma e acabou!

M 4 )

1 A = 1 a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n

1 A = a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n

1 A = A

Beleza, finalizamos. Todos os axiomas funcionam, então sim, o nosso conjunto é um espaço vetorial!

Passo 4

A matriz diagonal n × n é obtida composição de n vetores coluna com uma coordenada diferente de zero, e todas as outras iguais a 0 . Então ela pode ser escrita como:

M = a 1 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 + 0 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 + … + 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n

Então a base do conjunto é:

1 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ,   0 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ,   … ,   0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1

Essa base tem n matrizes, e por isso, essa vai ser sua dimensão!

Resposta

É um espaço vetorial, com base:

1 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ,   0 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ,   … ,   0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1

Sua dimensão é igual a n .

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Verifique se o conjunto abaixo é espaço vetorial real, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão. a ,2 a ,3 a ; a ∈ R
Verifique se o conjunto abaixo é espaço vetorial real, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão. a ) Matrizes escalares n × n .
Calcule a inversa da matriz dada ou mostre que ela é singular: 2 3 1 - 1 2 1 4 - 1 - 1
Calcule a inversa da matriz dada ou mostre que ela é singular: 3 - 1 6 2
Calcule a inversa da matriz dada ou mostre que ela é singular: 2 1 0 0 2 1 0 0 2