Calcule a integral.

∫ 0 π 2 sec 4 ⁡ t 2   d t

Passo 1

O exercício pede para calcularmos a integral definida. Vale lembrar que quando mudamos a variável de integração, podemos mudar também os limites. Assim, fazendo x = t / 2 , temos que d x = d t / 2 . Além disso, para t = 0 , x = 0 e, para t = π / 2 , temos que x = π / 4 . A integral fica:

∫ 0 π 2 sec 4 ⁡ t 2   d t = 2 ∫ 0 π 4 sec 4 ⁡ x   d x

Agora você vai precisar lembrar que 1 + t g 2 x = sec 2 ⁡ x e que t g   x ' = sec 2 ⁡ x . Assim:

∫ 0 π 2 sec 4 ⁡ t 2   d t = 2 ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x   d x   = 2 ∫ 0 π 4 1 + t g 2 x sec 2 ⁡ x   d x

Então, a substituição u = t g   x vai resolver nosso problema pois d u = sec 2 ⁡ x   d x .

Passo 2

Com essa mudança de variável, temos que para x = 0 , u = 0 e, para x = π / 4 , u = 1 . Assim,

∫ 0 π 2 sec 4 ⁡ t 2   d t = 2 ∫ 0 1 1 + u 2   d u = 2   u + u 3 3 0 1

Passo 3

Substituindo os limites de integração:

∫ 0 π 2 sec 4 ⁡ t 2   d t = 2   1 + 1 3 = 2 ⋅ 4 3 = 8 3

Resposta

8 3

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