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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 22

Calcule a integral.

int_0^((pi)/(2)) sec^4 ((t)/(2)) d t

Passo 1

O exercício pede para calcularmos a integral definida. Vale lembrar que quando mudamos a variável de integração, podemos mudar também os limites. Assim, fazendo x = t // 2 , temos que d x = d t // 2 . Além disso, para t = 0 , x = 0 e, para t = pi // 2 , temos que x = pi // 4 . A integral fica:

int_0^((pi)/(2)) sec^4 ((t)/(2)) d t = 2 int_0^((pi)/(4)) sec^4 x d x

Agora você vai precisar lembrar que 1 + t g^2 x = sec^2 x e que (t g x)^' = sec^2 x . Assim:

int_0^((pi)/(2)) sec^4 ((t)/(2)) d t = 2 int_0^((pi)/(4)) sec^2 x sec^2 x d x = 2 int_0^((pi)/(4)) (1 + t g^2 x) sec^2 x d x

Então, a substituição u = t g x vai resolver nosso problema pois d u = sec^2 x d x .

Passo 2

Com essa mudança de variável, temos que para x = 0 , u = 0 e, para x = pi // 4 , u = 1 . Assim,

int_0^((pi)/(2)) sec^4 ((t)/(2)) d t = 2 int_0^1 (1 + u^2) d u = 2 [u + (u^3)/(3)]_0^1

Passo 3

Substituindo os limites de integração:

int_0^((pi)/(2)) sec^4 ((t)/(2)) d t = 2 (1 + (1)/(3)) = 2 * (4)/(3) = (8)/(3)

Resposta

(8)/(3)

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