Calcule a integral

∫ d x cos ⁡ x - 1

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos multiplicar toda a integral pelo fator

cos ⁡ x + 1 cos ⁡ x + 1

Então, ficamos com

∫ d x cos ⁡ x - 1 ⋅ cos ⁡ x + 1 cos ⁡ x + 1 = ∫ cos ⁡ x + 1 cos 2 ⁡ x - 1 d x

Precisamos lembrar a seguinte propriedade trigonométrica: sin 2 ⁡ ( x ) + cos 2 ⁡ ( x ) = 1 , então

∫ cos ⁡ x + 1 cos 2 ⁡ x - 1 d x = ∫ cos ⁡ x + 1 - sin 2 ⁡ ( x ) d x

Podemos reescrever separando as frações

∫ cos ⁡ x + 1 - sin 2 ⁡ ( x ) d x = ∫ - cos ⁡ x sin 2 ⁡ x - 1 sin 2 ⁡ x d x = ∫ - cos ⁡ x sin ⁡ x 1 sin ⁡ x - csc 2 ⁡ x d x = ∫ ( - cot ⁡ x csc ⁡ x - csc 2 ⁡ x ) d x

Passo 2

Podemos separa esta integral em duas da seguinte forma

∫ ( - cot ⁡ x csc ⁡ x - csc 2 ⁡ x ) d x = ∫ - cot ⁡ x csc ⁡ x d x + ∫ - csc 2 ⁡ ( x ) d x = csc ⁡ x + cot ⁡ x + c

Note que as duas integrais são tabeladas.

Resposta

∫ d x cos ⁡ x - 1 = csc ⁡ x + cot ⁡ x + c

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