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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 48

Calcule a integral

int (d x)/(cos (x) - 1)

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos multiplicar toda a integral pelo fator

(cos (x) + 1)/(cos (x) + 1)

Então, ficamos com

int (d x)/(cos (x) - 1) * (cos (x) + 1)/(cos (x) + 1) = int (cos (x) + 1)/(cos^2 (x) - 1) d x

Precisamos lembrar a seguinte propriedade trigonométrica: sin^2 ( x ) + cos^2 ( x ) = 1 , então

int (cos (x) + 1)/(cos^2 (x) - 1) d x = int (cos (x) + 1)/(- sin^2 ( x )) d x

Podemos reescrever separando as frações

int (cos (x) + 1)/(- sin^2 ( x )) d x = int (- (cos (x))/(sin^2 (x)) - (1)/(sin^2 (x))) d x = int (- (cos (x))/(sin (x)) (1)/(sin (x)) - csc^2 (x)) d x = int ( - cot (x) csc (x) - csc^2 (x) ) d x

Passo 2

Podemos separa esta integral em duas da seguinte forma

int ( - cot (x) csc (x) - csc^2 (x) ) d x = int - cot (x) csc (x) d x + int - csc^2 ( x ) d x = csc (x) + cot (x) + c

Note que as duas integrais são tabeladas.

Resposta

int (d x)/(cos (x) - 1) = csc (x) + cot (x) + c

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