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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 39

Nos exercícios de 37 a 44, calcule a integral definida. (39) ∫ 1 3 2 t + 3 t + 1 d t

Passo 1

Da integral dada,

f t = ∫ 1 3 2 t + 3 t + 1 d t = ∫ 1 3 2 t t + 1 + 3 t + 1 d t = ∫ 1 3 2 t t + 1 d t + ∫ 1 3 3 t + 1 d t

Vamos usar a técnica da substituição de variáveis para calcular a integral h t = ∫ 1 3 2 t t + 1 d t . Seja u = t + 1 → d u = d t   e   t = u - 1   . Vamos agora reescrever a integral. Quando t = 1   → u = 2   e quando t = 3 → u = 4 .

h u = ∫ 2 4 2 u - 1 u d u

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

h u = 2 ∫ 2 4 u - 1 u d u

h u = 2 ∫ 2 4 1 - 1 u d u h u = 2 u - l n u 2 4 h u = 2 4 - ln ⁡ 4 - 2 + ln ⁡ 2 h u = 2 [ 2 - ln ⁡ 2 ]

Passo 3

Resolvendo a integral inicial temos:

f t = 2 2 - ln ⁡ 2 + 3 ln ⁡ t + 1 1 3 f t = 4 - 2 ln ⁡ 2 + 3 ln ⁡ 4 - ln ⁡ 2 f t = 4 - 2 ln ⁡ 2 + 3 * 2 ln ⁡ 2 - 3 ln ⁡ 2 f t = 4 - l n ⁡ ( 2 )

Resposta

O resultado é:

∫ 1 3 2 t + 3 t + 1 d t = 4 - l n ⁡ ( 2 )

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