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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 33

Calcule a integral indefinida.

int sec^3 (1 - 4 x) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 1 - 4 x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - 4 d x -> - (1)/(4) d u = d x

Agora vamos fazer a substituição:

int sec^3 (1 - 4 x) d x = int (- sec^3 u)/(4) d u = - (1)/(4) int sec^3 u d u

Passo 2

Aqui vamos usar a fórmula de Redução:

int sec^n u d u = (1)/(n - 1) sec^(n - 2) u tg u + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) u d u

Vamos substituir agora:

int sec^n u d u = (1)/(n - 1) sec^(n - 2) u tg u + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) u d u ->

-> int sec^3 u d u = (1)/(3 - 1) sec^(3 - 2) u tg u + (3 - 2)/(3 - 1) int sec^(3 - 2) u d u ->

-> int sec^3 u d u = (1)/(2) sec u tg u + (1)/(2) int sec u d u

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int sec x d x = ln |sec x + tg x| + C

Agora é só aplicar:

int sec u d u = ln |sec u + tg u| + C

Pronto, vamos agora juntar com a expressão toda:

int sec^3 (1 - 4 x) d x = - (1)/(4) int sec^3 u d u = - (1)/(4) [(1)/(2) sec u tg u + (1)/(2) int sec u d u] =

= - (1)/(4) [(1)/(2) sec u tg u + (1)/(2) (ln |sec u + tg u|)] + C = - (1)/(8) sec u tg u - (1)/(8) ln |sec u + tg u| + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int sec^3 (1 - 4 x) d x = - (1)/(8) sec u tg u - (1)/(8) ln |sec u + tg u| + C =

= - (1)/(8) sec (1 - 4 x) tg (1 - 4 x) - (1)/(8) ln |sec (1 - 4 x) + tg (1 - 4 x)| + C

Resposta

int sec^3 (1 - 4 x) d x = - (1)/(8) sec (1 - 4 x) tg (1 - 4 x) - (1)/(8) ln |sec (1 - 4 x) + tg (1 - 4 x)| + C

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