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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 36

Verificar as fórmulas de recorrência 8 , 9 e 10 da Seção 7.2 . 11 .

Passo 1

Vamos lá, vamos verificar primeiro a fórmula 8 :

∫ cos n ⁡ u d u = 1 n cos n - 1 ⁡ u sen ⁡ u + n - 1 n ∫ cos n - 2 ⁡ u d u

Vamos resolver o lado esquerdo da expressão para chegar no do lado direito:

∫ cos n ⁡ u d u

Passo 2

Primeiro vamos fazer uma manipulação:

∫ cos n ⁡ u d u = ∫ cos n - 1 ⁡ u cos ⁡ u d u

Agora vamos usar integral por partes:

∫ w d v = w v - ∫ v d w

Vamos fazer w = cos n - 1 ⁡ u e d v = cos ⁡ u d u :

d w = n - 1 cos n - 1 - 1 ⁡ u - sen ⁡ u d u = - n - 1 cos n - 2 ⁡ u sen ⁡ u d u

e

v = sen ⁡ u

Substituindo ficamos com:

∫ cos n ⁡ u d u = cos n - 1 ⁡ u ⋅ sen ⁡ u - ∫ sen ⁡ u - n - 1 cos n - 2 ⁡ u sen ⁡ u d u =

= cos n - 1 ⁡ u sen ⁡ u + n - 1 ∫ sen 2 ⁡ u cos n - 2 ⁡ u d u

Passo 3

Pronto, agora vamos usar a identidade:

sen 2 ⁡ x + c os 2 ⁡ x = 1 → sen 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

Vamos substituir:

∫ cos n ⁡ u d u = cos n - 1 ⁡ u sen ⁡ u + n - 1 ∫ sen 2 ⁡ u cos n - 2 ⁡ u d u

∫ cos n ⁡ u d u = cos n - 1 ⁡ u sen ⁡ u + n - 1 ∫ 1 - cos 2 ⁡ u cos n - 2 ⁡ u d u

∫ cos n ⁡ u d u = cos n - 1 ⁡ u sen ⁡ u + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ u - cos 2 ⁡ u cos n - 2 ⁡ u d u

∫ cos n ⁡ u d u = cos n - 1 ⁡ u sen ⁡ u + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ u d u - n - 1 ∫ cos 2 ⁡ u cos n - 2 ⁡ u d u

∫ cos n ⁡ u d u = cos n - 1 ⁡ u sen ⁡ u + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ u d u - n - 1 ∫ cos 2 + n - 2 ⁡ u d u

∫ cos n ⁡ u d u = cos n - 1 ⁡ u sen ⁡ u + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ u d u - n - 1 ∫ cos n ⁡ u d u

Passo 4

Vamos agora passar a integral - n - 1 ∫ cos n ⁡ u d u para o lado esquerdo da igualdade:

∫ cos n ⁡ u d u = cos n - 1 ⁡ u sen ⁡ u + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ u d u - n - 1 ∫ cos n ⁡ u d u

∫ cos n ⁡ u d u + n - 1 ∫ cos n ⁡ u d u = cos n - 1 ⁡ u sen ⁡ u + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ u d u

1 + n - 1 ∫ cos n ⁡ u d u = cos n - 1 ⁡ u sen ⁡ u + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ u d u

n ∫ cos n ⁡ u d u = cos n - 1 ⁡ u sen ⁡ u + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ u d u

∫ cos n ⁡ u d u = 1 n cos n - 1 ⁡ u sen ⁡ u + n - 1 n ∫ cos n - 2 ⁡ u d u

Pronto, achamos o lado direito da igualdade, verificamos a fórmula 8 .

Passo 5

Agora vamos verificar a fórmula 9 :

∫ sec n ⁡ u d u = 1 n - 1 s ec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u + n - 2 n - 1 ∫ s ec n - 2 ⁡ u d u

Vamos resolver o lado esquerdo da expressão para chegar no do lado direito:

∫ sec n ⁡ u d u

Passo 6

Primeiro vamos fazer uma manipulação:

∫ sec n ⁡ u d u = ∫ sec n - 2 ⁡ u sec 2 ⁡ u d u

Agora vamos usar integral por partes:

∫ w d v = w v - ∫ v d w

Vamos fazer w = s ec n - 2 ⁡ u e d v = sec 2 ⁡ u d u :

d w = n - 2 s ec n - 2 - 1 ⁡ u sec ⁡ u tg ⁡ u d u = n - 2 s ec n - 3 + 1 ⁡ u tg ⁡ u d u =

= n - 2 sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u d u

e

v = tg ⁡ u

Substituindo ficamos com:

∫ sec n ⁡ u d u = sec n - 2 ⁡ u ⋅ tg ⁡ u - ∫ tg ⁡ u n - 2 sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u d u =

= sec n - 2 ⁡ u ⋅ tg ⁡ u - ∫ n - 2 sec n - 2 ⁡ u tg 2 ⁡ u d u

Passo 7

Pronto, agora vamos usar a identidade:

1 + tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x → tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

Vamos substituir:

∫ sec n ⁡ u d u = sec n - 2 ⁡ u ⋅ tg ⁡ u - ∫ n - 2 sec n - 2 ⁡ u tg 2 ⁡ u d u

∫ sec n ⁡ u d u = sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u - n - 2 ∫ sec n - 2 ⁡ u sec 2 ⁡ u - 1 d u

∫ sec n ⁡ u d u = sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u - n - 2 ∫ sec n - 2 ⁡ u sec 2 ⁡ u - sec n - 2 ⁡ u d u

∫ sec n ⁡ u d u = sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u - n - 2 ∫ sec n - 2 + 2 ⁡ u - sec n - 2 ⁡ u d u

∫ sec n ⁡ u d u = sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u - n - 2 ∫ sec n ⁡ u d u - n - 2 ∫ - sec n - 2 ⁡ u d u

∫ sec n ⁡ u d u = sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u - n - 2 ∫ sec n ⁡ u d u + n - 2 ∫ sec n - 2 ⁡ u d u

Passo 8

Vamos agora passar a integral - n - 2 ∫ sec n ⁡ u d u para o lado esquerdo da igualdade:

∫ sec n ⁡ u d u = sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u - n - 2 ∫ sec n ⁡ u d u + n - 2 ∫ sec n - 2 ⁡ u d u

∫ sec n ⁡ u d u + n - 2 ∫ sec n ⁡ u d u = sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u + n - 2 ∫ sec n - 2 ⁡ u d u

1 + n - 2 ∫ sec n ⁡ u d u = sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u + n - 2 ∫ sec n - 2 ⁡ u d u

n - 1 ∫ sec n ⁡ u d u = sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u + n - 2 ∫ sec n - 2 ⁡ u d u

∫ sec n ⁡ u d u = 1 n - 1 sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ u d u

Pronto, achamos o lado direito da igualdade, verificamos a fórmula 9 .

Passo 9

Por último vamos verificar a fórmula 10 :

∫ cosec n ⁡ u d u = - 1 n - 1 cosec n - 2 ⁡ u co tg ⁡ u + n - 2 n - 1 ∫ cosec n - 2 ⁡ u d u

Vamos resolver o lado esquerdo da expressão para chegar no do lado direito:

∫ cosec n ⁡ u d u

Passo 10

Primeiro vamos fazer uma manipulação:

∫ cosec n ⁡ u d u = ∫ cosec n - 2 ⁡ u c osec 2 ⁡ u d u

Agora vamos usar integral por partes:

∫ w d v = w v - ∫ v d w

Vamos fazer w = c osec n - 2 ⁡ u e d v = c osec 2 ⁡ u d u :

d w = n - 2 c osec n - 2 - 1 ⁡ u - c osec ⁡ u co tg ⁡ u d u = - n - 2 c osec n - 3 + 1 ⁡ u co tg ⁡ u d u =

= - n - 2 c osec n - 2 ⁡ u co tg ⁡ u d u

e

v = - co tg ⁡ u

Substituindo ficamos com:

∫ cosec n ⁡ u d u = cosec n - 2 ⁡ u ⋅ - cotg ⁡ u - ∫ - cotg ⁡ u - n - 2 cosec n - 2 ⁡ u cotg ⁡ u d u =

= - cosec n - 2 ⁡ u cotg ⁡ u - ∫ n - 2 cotg 2 ⁡ u cosec n - 2 ⁡ u d u =

= - cosec n - 2 ⁡ u cotg ⁡ u - n - 2 ∫ cotg 2 ⁡ u cosec n - 2 ⁡ u d u

Passo 11

Pronto, agora vamos usar a identidade:

1 + co tg 2 ⁡ x = co sec 2 ⁡ x → co tg 2 ⁡ x = co sec 2 ⁡ x - 1

Vamos substituir:

∫ cosec n ⁡ u d u = - cosec n - 2 ⁡ u cotg ⁡ u - n - 2 ∫ cotg 2 ⁡ u cosec n - 2 ⁡ u d u

∫ cosec n ⁡ u d u = - cosec n - 2 ⁡ u cotg ⁡ u - n - 2 ∫ cosec 2 ⁡ u - 1 cosec n - 2 ⁡ u d u

∫ cosec n ⁡ u d u = - cosec n - 2 ⁡ u cotg ⁡ u - n - 2 ∫ cosec 2 ⁡ u cosec n - 2 ⁡ u - cosec n - 2 ⁡ u d u

∫ cosec n ⁡ u d u = - cosec n - 2 ⁡ u cotg ⁡ u - n - 2 ∫ cosec n - 2 + 2 ⁡ u - cosec n - 2 ⁡ u d u

∫ cosec n ⁡ u d u = - cosec n - 2 ⁡ u cotg ⁡ u - n - 2 ∫ cosec n ⁡ u d u + n - 2 ∫ cosec n - 2 ⁡ u d u

Passo 12

Vamos agora passar a integral - n - 2 ∫ cosec n ⁡ u d u para o lado esquerdo da igualdade:

∫ cosec n ⁡ u d u = - cosec n - 2 ⁡ u cotg ⁡ u - n - 2 ∫ cosec n ⁡ u d u + n - 2 ∫ cosec n - 2 ⁡ u d u

∫ cosec n ⁡ u d u + n - 2 ∫ cosec n ⁡ u d u = - cosec n - 2 ⁡ u cotg ⁡ u + n - 2 ∫ cosec n - 2 ⁡ u d u

1 + n - 2 ∫ cosec n ⁡ u d u = - cosec n - 2 ⁡ u cotg ⁡ u + n - 2 ∫ cosec n - 2 ⁡ u d u

n - 1 ∫ cosec n ⁡ u d u = - cosec n - 2 ⁡ u cotg ⁡ u + n - 2 ∫ cosec n - 2 ⁡ u d u

∫ cosec n ⁡ u d u = - 1 n - 1 cosec n - 2 ⁡ u cotg ⁡ u + n - 2 n - 1 ∫ cosec n - 2 ⁡ u d u

Pronto, achamos o lado direito da igualdade, verificamos a fórmula 10 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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