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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 7

(a) Calcule a integral de três maneiras: usando a substituição u = x , usando a substituição u = 2 - x , e completando o quadrado.

∫ 1 2 x - x 2   d x

(b) Mostre que as respostas de (a) são equivalentes.

Passo 1

(a) Vamos começar usando a substituição:

u = x ∴ u 2 = x

d u d x = 1 2 x ∴ d x = 2 x   d u

Reescrevendo a nossa integral:

∫ 1 x ⋅ 2 - x d x

Substituindo d x :

∫ 1 x ⋅ 2 - x ⋅ 2 x d u = 2 ∫ 1 2 - x d u

E substituindo x = u 2 :

= 2 ∫ 1 2 - u 2 d u

A fórmula 77 diz que:

∫ 1 a 2 - u 2 d u = a r c s e n u a + C

Comparando com a nossa, a = 2 . A integral fica:

2 ∫ 1 2 - u 2 d u = 2   a r c s e n u 2 + C 1 = 2   a r c s e n x 2 + C 1

Passo 2

Vamos usar agora:

u = 2 - x ∴ u 2 = 2 - x ∴ x = 2 - u 2

d u d x = - 1 2 2 - x ∴ d x = - 2 2 - x   d u

Substituindo d x :

∫ 1 x ⋅ 2 - x ⋅ ( - 2 ) 2 - x d u = - 2 ∫ 1 x d u

Substituindo x = 2 - u 2 :

= - 2 ∫ 1 2 - u 2 d u

Usando a fórmula 77 de novo:

= - 2   a r c s e n   u 2 + C 2 = - 2   a r c s e n   2 - x 2 + C 2

Passo 3

Falta só mais uma. Vamos completar quadrados para o argumento da raiz:

- x 2 + 2 x = - x 2 - 2 x = - x - 1 2 - 1 = - x - 1 2 + 1

Substituindo isso na integral:

∫ 1 2 x - x 2   d x = ∫ 1 1 - x - 1 2 d x

A gente pode chamar u = x - 1 e:

d u d x = 1 ∴ d u = d x

Substituindo isso na nossa integral e usando a fórmula 77 mais uma vez:

∫ 1 1 - u 2 d u = a r c s e n   u + C 3 = a r c s e n   x - 1 + C 3

Passo 4

(b)Agora a gente precisa provar que:

2   a r c s e n x 2 + C 1

- 2   a r c s e n   2 - x 2 + C 2

a r c s e n   x - 1 + C 3

São equilaventes, ou seja, são valores que no máximo diferem entre si por uma constante.

Agora, pensa comigo: a derivada de constante é zero. Se esses valores diferem só por uma constante, quando a gente derivar, a constante some.

Então, para esses valores serem equivalentes, as derivadas precisam ser iguais. Vamos derivar cada um deles:

2   a r c s e n x 2 + C 1 ' = 2 2 ⋅ 1 2 x ⋅ 1 1 - x 2 = 1 2 x - x 2

- 2   a r c s e n   2 - x 2 + C 2 ' = - 2 2 ⋅ - 1 2 2 - x ⋅ 1 1 - 2 - x 2 = 1 2 x - x 2

a r c s e n   x - 1 + C 3 ' = 1 1 - x - 1 2 = 1 2 x - x 2

Ih, as derivadas ficaram iguais mesmo! Então esses valores são equivalentes.

Resposta

  1. 2   a r c s e n x 2 + C 1 , - 2   a r c s e n   2 - x 2 + C 2 , a r c s e n   x - 1 + C 3
  2. As derivadas das respostas dão o mesmo valor, por isso são equivalentes.
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