Calcule a integral.

∫ sen 3 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x

Passo 1

Usando a identidade trigonométrica que diz que cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x = 1 , podemos reescrever a função como:

∫ sen 3 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = ∫ cos 2 ⁡ x ( 1 - co s 2 ⁡ x ) s en ⁡ x d x

Distribuindo, temos:

∫ sen 3 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = ∫ ( sen ⁡ x cos 2 ⁡ x - sen ⁡ x cos 4 ⁡ x ) d x

∫ sen 3 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = ∫ ( sen ⁡ x cos 2 ⁡ x ) d x - ∫ ( sen ⁡ x cos 4 ⁡ x ) d x

Vamos calcular essa integral por substituição do tipo u d u , chamaremos:

u = co s ⁡ x

d u = - s en ⁡ x d x

Aplicando na substituição, temos:

∫ sen 3 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = ∫ ( u 2 - u 4 ) ( - d u )

∫ sen 3 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = - u 3 3 + u 5 5 + C

Substituindo u = co s ⁡ x :

∫ sen 3 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = - c o s 3 x 3 + c o s 5 x 5 + C

Resposta

∫ sen 3 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = - c o s 3 x 3 + c o s 5 x 5 + C

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