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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 10

Calcule a integral.

int sen^3 x cos^2 x d x

Passo 1

Usando a identidade trigonométrica que diz que cos^2 x + sen^2 x = 1 , podemos reescrever a função como:

int sen^3 x cos^2 x d x = int cos^2 x ( 1 - co s^2 x ) s en x d x

Distribuindo, temos:

int sen^3 x cos^2 x d x = int ( sen x cos^2 x - sen x cos^4 x ) d x

int sen^3 x cos^2 x d x = int ( sen x cos^2 x ) d x - int ( sen x cos^4 x ) d x

Vamos calcular essa integral por substituição do tipo u d u , chamaremos:

u = co s x

d u = - s en x d x

Aplicando na substituição, temos:

int sen^3 x cos^2 x d x = int ( u^2 - u^4 ) ( - d u )

int sen^3 x cos^2 x d x = - (u^3)/(3) + (u^5)/(5) + C

Substituindo u = co s x :

int sen^3 x cos^2 x d x = - (c o s^3 x)/(3) + (c o s^5 x)/(5) + C

Resposta

int sen^3 x cos^2 x d x = - (c o s^3 x)/(3) + (c o s^5 x)/(5) + C

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