Calcule a integral.

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x

Tem ideia de como fazemos isso?

Para calcular essa integral, vamos usar Integração por Partes pois nossa função de integração se trata do produto de duas funções.

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos fazer então u = x 2 e d v = cos ⁡ 3 x d x :

d u = 2 x d x e v = sen ⁡ 3 x 3

Vamos substituir agora:

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x = x 2 sen ⁡ 3 x 3 - ∫ sen ⁡ 3 x 3 2 x   d x

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x = x 2 sen ⁡ 3 x 3 - 2 3 ∫ x sen ⁡ 3 x   d x

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Veja só!

Passo 2

Vamos ter que usar Integração por Partes novamente:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos fazer então u = x e d v = sen ⁡ 3 x d x :

d u = d x e v = - cos ⁡ 3 x 3

Vamos substituir agora:

∫ x sen ⁡ 3 x   d x = x - cos ⁡ 3 x 3 - ∫ - cos ⁡ 3 x 3   d x

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cos ⁡ c x d x = sen ⁡ c x c + C

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

Assim vamos ficar com:

∫ - cos ⁡ 3 x 3   d x = - 1 3 ∫ cos ⁡ 3 x   d x = - 1 3 sen ⁡ 3 x 3 + C

∫ - cos ⁡ 3 x 3   d x = - sen ⁡ 3 x 9 + C

Vamos agora voltar a expressão original e problema resolvido:

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x = x 2 sen ⁡ 3 x 3 - 2 3 ∫ x sen ⁡ 3 x   d x

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x = x 2 sen ⁡ 3 x 3 - 2 3 x - cos ⁡ 3 x 3 - ∫ - cos ⁡ 3 x 3   d x

Simplificando...

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x = x 2 sem ⁡ 3 x 3 - 2 3 x - cos ⁡ 3 x 3 - sem ⁡ 3 x 9 + C

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x = x 2 sem ⁡ 3 x 3 + 2 x cos ⁡ 3 x 9 - 2 sem ⁡ 3 x 27 + C

E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x = x 2 sen ⁡ 3 x 3 + 2 x cos ⁡ 3 x 9 - 2 sen ⁡ 3 x 27 + C

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