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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.1 - Ex. 7

Calcule a integral.

int x^2 cos 3 x d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral

int x^2 cos 3 x d x

Tem ideia de como fazemos isso?

Para calcular essa integral, vamos usar Integração por Partes pois nossa função de integração se trata do produto de duas funções.

int u d v = u v - int v d u

Vamos fazer então u = x^2 e d v = cos 3 x d x :

d u = 2 x d x e v = (sen 3 x)/(3)

Vamos substituir agora:

int x^2 cos 3 x d x = x^2 (sen 3 x)/(3) - int (sen 3 x)/(3) 2 x d x

int x^2 cos 3 x d x = x^2 (sen 3 x)/(3) - (2)/(3) int x sen 3 x d x

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Veja só!

Passo 2

Vamos ter que usar Integração por Partes novamente:

int u d v = u v - int v d u

Vamos fazer então u = x e d v = sen 3 x d x :

d u = d x e v = - (cos 3 x)/(3)

Vamos substituir agora:

int x sen 3 x d x = x (- (cos 3 x)/(3)) - int - (cos 3 x)/(3) d x

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int cos c x d x = (sen c x)/(c) + C

int c f (x) d x = c int f (x) d x

Assim vamos ficar com:

int - (cos 3 x)/(3) d x = - (1)/(3) int cos 3 x d x = - (1)/(3) (sen 3 x)/(3) + C

int - (cos 3 x)/(3) d x = - (sen 3 x)/(9) + C

Vamos agora voltar a expressão original e problema resolvido:

int x^2 cos 3 x d x = x^2 (sen 3 x)/(3) - (2)/(3) int x sen 3 x d x

int x^2 cos 3 x d x = x^2 (sen 3 x)/(3) - (2)/(3) (x (- (cos 3 x)/(3)) - int - (cos 3 x)/(3) d x)

Simplificando...

int x^2 cos 3 x d x = x^2 (sem 3 x)/(3) - (2)/(3) (x (- (cos 3 x)/(3)) - (sem 3 x)/(9)) + C

int x^2 cos 3 x d x = (x^2 sem 3 x)/(3) + (2 x cos 3 x)/(9) - (2 sem 3 x)/(27) + C

E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

int x^2 cos 3 x d x = (x^2 sen 3 x)/(3) + (2 x cos 3 x)/(9) - (2 sen 3 x)/(27) + C

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