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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 32

1-38 Calcule a integral.

32. int_0^((sqrt(3))/(2)) a r c s e n x d x

Passo 1

Galeraaaa,a gente vai resolver usando o método de integração por partes. Então, primeiro vamos ver quem vai ser o nosso u e o nosso d v . Que tal usarmos aquele macete, hein?! O famoso L I A T E .

Se você não sabe, é um macete que eu super recomendo você gravar. É muiiiito fácil e ajuda bastante.

l -> f u n ç õ e s l o g a r í t m i c a s

i -> i n v e r s a s t r i g o n o m é t r i c a s

a -> f u n ç õ e s a l g é b r i c a s

t -> f u n ç õ e s t r i g o n o m é t r i c a s

e -> f u n ç õ e s e x p o n e n c i a i s

Para escolher o nosso u , é só seguir essa ordem de preferência que começa de cima para baixo.

Então, sejam u = arcsen x e d x = d v .

{[[u = arcsen x -> d u = (d x)/(sqrt(1 - x^2))],[d x = d v -> v = x]])

Passo 2

Assim, vamos ter que

int_0^((sqrt(3))/(2)) a r c s e n x d x = (x arcsen x|_0^((sqrt(3))/(2)) - int_0^((sqrt(3))/(2)) (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Agora ficou fácil né?!

Para resolver a integral do lado direita é só fazer uma substituição simples. Para tanto, denote

u = 1 - x^2 -> - (d u)/(2) = x d x

Assim, vemos que

int (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x = - (1)/(2) int (d u)/(sqrt(u )) = - sqrt(u)

Voltando para a nossa integral... lembre-se de fazer a substituição correta da variável u .

int_0^((sqrt(3))/(2)) (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x = (- sqrt(1 - x^2)|_0^((sqrt(3))/(2)) = - sqrt(1 - (3)/(4)) + 1 = - (1)/(2) + 1 = (1)/(2)

Por último, é só a gente calcular isso aqui

(x arcsen x|_0^((sqrt(3))/(2))

Molezaaa!!!

(x arcsen x|_0^((sqrt(3))/(2)) = (sqrt(3))/(2) . (pi)/(3) = (pi sqrt(3))/(6)

Somando as respostas, vemos que

Ops.... não se esqueça do menos antes da nossa integral!!!

int_0^((sqrt(3))/(2)) a r c s e n x d x = (pi sqrt(3))/(6) - (1)/(2) = (pi sqrt(3) - 3)/(6)

Resposta

(pi sqrt(3) - 3)/(6)

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