1-38 Calcule a integral.

32. ∫ 0 3 2 a r c s e n x   d x

Passo 1

Galeraaaa,a gente vai resolver usando o método de integração por partes. Então, primeiro vamos ver quem vai ser o nosso u e o nosso d v . Que tal usarmos aquele macete, hein?! O famoso L I A T E .

Se você não sabe, é um macete que eu super recomendo você gravar. É muiiiito fácil e ajuda bastante.

l → f u n ç õ e s   l o g a r í t m i c a s

i → i n v e r s a s   t r i g o n o m é t r i c a s

a → f u n ç õ e s   a l g é b r i c a s

t → f u n ç õ e s   t r i g o n o m é t r i c a s

e → f u n ç õ e s   e x p o n e n c i a i s

Para escolher o nosso u , é só seguir essa ordem de preferência que começa de cima para baixo.

Então, sejam u = arcsen ⁡ x e d x = d v .

u = arcsen ⁡ x                 →       d u = d x 1 - x 2 d x = d v           →       v = x

Passo 2

Assim, vamos ter que

∫ 0 3 2 a r c s e n x   d x = x arcsen ⁡ x 0   3 2   - ∫ 0 3 2 x 1 - x 2   d x

Agora ficou fácil né?!

Para resolver a integral do lado direita é só fazer uma substituição simples. Para tanto, denote

u = 1 - x 2 → - d u 2 = x d x

Assim, vemos que

∫ x 1 - x 2   d x = - 1 2 ∫ d u u     = - u

Voltando para a nossa integral... lembre-se de fazer a substituição correta da variável u .

∫ 0 3 2 x 1 - x 2   d x = - 1 - x 2 0 3 2 = - 1 - 3 4 + 1 = - 1 2 + 1 = 1 2

Por último, é só a gente calcular isso aqui

x arcsen ⁡ x 0   3 2  

Molezaaa!!!

x arcsen ⁡ x 0   3 2   = 3 2 . π 3 = π 3 6

Somando as respostas, vemos que

Ops.... não se esqueça do menos antes da nossa integral!!!

∫ 0 3 2 a r c s e n x   d x = π 3 6 - 1 2 = π 3 - 3 6

Resposta

π 3 - 3 6

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