Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 3

Calcule a integral.

int_((pi)/(2))^((3 pi)/(4)) s e n^5 x cos^3 x d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral. Vamos ter que usar as relações trigonométricas, com destaque para a fundamental: s e n^2 x + cos^2 x = 1 .

Vamos reescrever a integral como

int_((pi)/(2))^((3 pi)/(4)) s e n^5 x cos^3 x d x = int_((pi)/(2))^((3 pi)/(4)) s e n^5 x cos^2 x cos x d x = int_((pi)/(2))^((3 pi)/(4)) s e n^5 x (1 - s e n^2 x) cos x d x

Agora, lembre-se que a derivada do seno é cosseno e vamos fazer a substituição u = s e n x de modo que d u = cos x d x .

Passo 2

Fazendo a substituição u = s e n x , temos que para x = pi // 2 , u = 1 e para x = 3 pi // 4 , u = sqrt(2) // 2 . Assim, a integral fica:

int_((pi)/(2))^((3 pi)/(4)) s e n^5 x cos^3 x d x = int_1^((sqrt(2))/(2)) u^5 (1 - u^2) d u = int_1^((sqrt(2))/(2)) ( u^5 - u^7 ) d u

Passo 3

Calculando a integral:

int_((pi)/(2))^((3 pi)/(4)) s e n^5 x cos^3 x d x = [(u^6)/(6) - (u^8)/(8)]_1^((sqrt(2))/(2)) = (1)/(6) * ((1)/(2))^3 - (1)/(8) ((1)/(2))^4 - ((1)/(6) - (1)/(8)) = (1)/(48) - (1)/(128) - (1)/(6) + (1)/(8)

Assim,

int_((pi)/(2))^((3 pi)/(4)) s e n^5 x cos^3 x d x = (16 - 6 - 128 + 96)/(768) = - (22)/(768) = - (11)/(384)

Resposta

- (11)/(384)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural. ∫ 1 2 - 4 x - x 2d x
Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural. ∫ 1 5 - e - 2 td t
Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural. ∫ cos ⁡ x 4 - cos 2 ⁡ xd x
Prove a fórmula (3) usando uma substituição por função hiperbólica.
Calcule a integral indefinida.int cos^2 (1)/(3) x d x