Calcule a integral.

∫ π 2 3 π 4 s e n 5 x cos 3 ⁡ x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral. Vamos ter que usar as relações trigonométricas, com destaque para a fundamental: s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 .

Vamos reescrever a integral como

∫ π 2 3 π 4 s e n 5 x cos 3 ⁡ x   d x = ∫ π 2 3 π 4 s e n 5 x cos 2 ⁡ x cos ⁡ x   d x = ∫ π 2 3 π 4 s e n 5 x   1 - s e n 2 x cos ⁡ x d x

Agora, lembre-se que a derivada do seno é cosseno e vamos fazer a substituição u = s e n   x de modo que d u = cos ⁡ x   d x .

Passo 2

Fazendo a substituição u = s e n   x , temos que para x = π / 2 , u = 1 e para x = 3 π / 4 , u = 2 / 2 . Assim, a integral fica:

∫ π 2 3 π 4 s e n 5 x cos 3 ⁡ x   d x = ∫ 1 2 2 u 5   1 - u 2   d u = ∫ 1 2 2 ( u 5 - u 7 )   d u

Passo 3

Calculando a integral:

∫ π 2 3 π 4 s e n 5 x cos 3 ⁡ x   d x = u 6 6 - u 8 8 1 2 2 = 1 6 ⋅ 1 2 3 - 1 8 1 2 4 - 1 6 - 1 8 = 1 48 - 1 128 - 1 6 + 1 8

Assim,

∫ π 2 3 π 4 s e n 5 x cos 3 ⁡ x   d x = 16 - 6 - 128 + 96 768 = - 22 768 = - 11 384

Resposta

- 11 384

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