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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.8 - Ex. 33

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 0 33 x - 1 - 1 / 5   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos a convergência da integral imprópria e, se possível, calculá-la.

Note que o problema no integrando ocorre em x = 1 , de modo que devemos quebrar a integral em duas:

∫ 0 33 x - 1 - 1 / 5   d x = ∫ 0 1 x - 1 - 1 / 5   d x + ∫ 1 33 x - 1 - 1 / 5   d x

Para que a integral da esquerda convirja, as duas integrais da direita devem ser convergentes.

Passo 2

Vamos focar inicialmente na integral ∫ 0 1 x - 1 - 1 / 5   d x . Como o problema está em x = 1 , calculemos primeiro

∫ 0 t x - 1 - 1 / 5   d x = 5 4 x - 1 4 5 0 t = 5 4 t - 1 4 5 - 5 4 - 1 4 5 = 5 4 t - 1 4 5 - 5 4

Fazendo t → 1 - , temos que t - 1 4 5 → 0 . Assim,

∫ 0 1 x - 1 - 1 / 5   d x = - 5 4

Passo 3

Vamos focar agora na segunda integral:

∫ t 33 x - 1 - 1 / 5   d x = 5 4 x - 1 4 5 t 33 = 5 4 32 4 5 - 5 4 t - 1 4 5 = 20 - 5 4 t - 1 4 5

Assim, como quando t → 1 + , t - 1 4 5 → 0 , temos que

∫ 1 33 x - 1 - 1 / 5   d x = 20

Portanto,

∫ 0 33 x - 1 - 1 / 5   d x = ∫ 0 1 x - 1 - 1 / 5   d x + ∫ 1 33 x - 1 - 1 / 5   d x = - 5 4 + 20 = 75 4

Resposta

75 4

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