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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.1 - Ex. 31

Calcule a integral.

int_0^((1)/(2)) cos^(- 1) x d x

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Vamos usar Integração por Partes:

int u d v = u v - int v d u

Vamos fazer então u = cos^(- 1) x e d v = d x :

d u = - (d x)/(sqrt(1 - x^2)) e v = x

Vamos substituir agora:

int cos^(- 1) x d x = x cos^(- 1) x - int - (x d x)/(sqrt(1 - x^2)) = x cos^(- 1) x + int (x d x)/(sqrt(1 - x^2))

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora vamos usar uma substituição:

u = 1 - x^2

d u = - 2 x d x -> x d x = - (d u)/(2)

Vamos substituir agora:

int (x d x)/(sqrt(1 - x^2)) = int - (1)/(2 sqrt(u)) d u = int - (u^(- (1)/(2)))/(2) d u

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Assim vamos ficar com:

int - (u^(- (1)/(2)))/(2) d u = - (1)/(2) int u^(- (1)/(2)) d u = - (1)/(2) . ((u^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1)) + C = - sqrt(u) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int - (u^(- (1)/(2)))/(2) d u = - sqrt(u) + C = - sqrt(1 - x^2) + C

Vamos agora voltar a expressão original e problema resolvido:

int cos^(- 1) x d x = x cos^(- 1) x + int (x d x)/(sqrt(1 - x^2)) = x cos^(- 1) x - sqrt(1 - x^2) + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_0^((1)/(2)) cos^(- 1) x d x = (x cos^(- 1) x - sqrt(1 - x^2))_0^((1)/(2)) = (1)/(2) cos^(- 1) (1)/(2) - sqrt(1 - ((1)/(2))^2) - (0 . cos^(- 1) 0 - sqrt(1 - 0^2)) = (1)/(2) . (pi)/(3) - (sqrt(3))/(2) + 1 = (pi)/(6) - (sqrt(3))/(2) + 1

Resposta

int_0^((1)/(2)) cos^(- 1) x d x = (pi)/(6) - (sqrt(3))/(2) + 1

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