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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.1 - Ex. 1

Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas.

∫ x 2 ln ⁡ x d x ;           u = ln ⁡ x ,             d v = x 2 d x

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá a integral pra a gente calcular:

∫ x 2 ln ⁡ x d x

Pra isso devemos usar integração por partes, mas pode ficar tranquilo que o enunciado também diz quem é u e quem é d v :

u = ln ⁡ x ,             d v = x 2 d x

Agora vamos refrescar a memória. A integração por partes é feita dessa forma aqui:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Se já sabemos que é u e quem é d v , basta acharmos d u e v :

u = ln ⁡ x → d u d x = 1 x

E

d v = x 2   d x →     v = x 3 3

Agora ficou fácil, bora substituir:

∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 3 3 - ∫ x 3 3 1 x d x

∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 3 3 - 1 3 ∫ x 2 d x

Passo 2

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Assim vamos ficar com:

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

Vamos agora voltar a expressão original e problema resolvido:

∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 3 3 - 1 3 x 3 3 + C

∫ x 2 ln ⁡ x d x = x 3 3 ln ⁡ x - x 3 9 + C

Prontinho!

Resposta

∫ x 2 ln ⁡ x d x = x 3 3 ln ⁡ x - x 3 9 + C

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