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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 22

Nos Exercícios 21-24, determine as áreas de superfícies geradas pela rotação das curvas em torno dos eixos dados.22. y = x 3 / 3   ,     0 ≤ x ≤ 1 ;     e i x o   x

Passo 1

Essa questão não tem segredo, só precisamos aplicar a função na fórmula da área da superfície:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

Vamos derivar a função dada, para acharmos f ' x .

f ' x = x 2

Aplicando na integral, com limites de integração a = 0 e b = 1 :

S = ∫ 0 1 2 π x 3 3   1 + x 2 2 d x

S = 2 π 3 ∫ 0 1 x 3   1 + x 4 d x

Vamos usar a técnica de substituição:

u = 1 + x 4

d u = 4 x 3 d x

Mudando os limites de integração:

Quando x = 0 ⇒ u = 1 e quando x = 1 ⇒ u = 2

Então, reescrevendo a equação vamos ter

S = 2 π 3 ∫ 1 2 u 4 d u

S = 2 π 3 1 4 ⋅ 2 u 3 / 2 3 1 2

S = π 9 u 3 / 2 1 2

S = π 9 2 3 / 2 - 1 3 / 2

S = π 9 2 2 - 1

Resposta

S = π 9 2 2 - 1

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