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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 1p

Calcule

p) int_(- 1)^0 x^2 sqrt(1 + x^3) d x

Passo 1

Aqui temos que calcular a integral do item p) int_(- 1)^0 x^2 sqrt(1 + x^3) d x

Passo 2

Para calcular esta integral temos que fazer uma substituição simples

int_(- 1)^0 x^2 sqrt(1 + x^3) d x

Onde

u = 1 + x^3

Portando fazendo a derivada de u

(d u)/(d x) = 3 x^2 -> (d u)/(3) = x^2 d x

Agora basta substituir na integral

int_(- 1)^0 sqrt(1 + x^3) ( x^2 d x ) = int_(- 1)^0 sqrt(u) ((1)/(3)) d u = int_(- 1)^0 u^((1)/(2)) ((1)/(3)) d u

Agora fica facil a integral

int_(- 1)^0 u^((1)/(2)) ((1)/(3)) d u = (((2)/(3)) u^((3)/(2)) ((1)/(3)))_(- 1)^0

Voltando para as variaveis originais

(((2)/(3)) ( 1 + x^3 )^((3)/(2)) ((1)/(3)))_(- 1)^0 = ((2)/(3)) (1)/(3) - 0 = (2)/(9)

Resposta

int_(- 1)^0 sqrt(1 + x^3) ( x^2 d x ) = (2)/(9)

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