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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 1o

Calcule

o) int_0^1 (x^2)/((1 + x^3)^2) d x

Passo 1

Para calcular esta integral temos que fazer uma substituição simples

int_0^1 (x^2)/((1 + x^3)^2) d x

Onde

u = 1 + x^3

Portando fazendo a derivada de u

(d u)/(d x) = 3 x^2 -> (d u)/(3) = x^2 d x

E os novos limites de integração serão

x = 0 -> u = 1

x = 1 -> u = 2

Passo 2

Agora basta substituir na integral

int_0^1 (1)/((1 + x^3)^2) x^2 d x = int_1^2 (1)/((u)^2) ((1)/(3)) d u

Agora fica mais fácil de fazer:

int_1^2 (1)/((u)^2) ((1)/(3)) d u = (1)/(3) (- (1)/(u))_1^2 = (1)/(3) (- (1)/(2) + (1)/(1)) = (1)/(3) ((1)/(2)) = (1)/(6)

E prontinho!

Resposta

int_0^1 (x^2)/((1 + x^3)^2) d x = (1)/(6)

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